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Astérisque - Parutions - 1999 - 258 - pages 217-240

Parutions1999258

Structure Theory of Set Addition
Jean-Marc Deshouillers, Bernard Landreau, Alexander A. Yudin (Ed.)
Astérisque 258 (1999), 458 pages
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On the structure of sets of lattice points in the plane with a small doubling property
Yonutz V. Stanchescu
Astérisque 258 (1999), 217-240

Résumé :
On décrit la structure des ensembles $
\mathbb {K}
$ de points d'un réseau plan tels que $\vert
\mathbb {K}
+
\mathbb {K}
\vert$ est petit comparé à $\vert
\mathbb {K}
\vert$. Soit $
\mathbb {K}
$ un sous-ensemble fini de $
\mathbb {Z}
^2$ tel que

\begin{displaymath}
\vert
\mathbb {K}
+
\mathbb {K}
\vert < 3.5\vert
\mathbb {K}
\vert -7.\end{displaymath}

Si $
\mathbb {K}
$ est porté par trois droites parallèles, alors l'enveloppe convexe de $
\mathbb {K}
$ est contenu dans trois progressions arithmétiques compatibles de même raison ayant en totalité au plus

\begin{displaymath}
\vert
\mathbb {K}
\vert+{3\over 4} \Big ( \vert
\mathbb {K}
+
\mathbb {K}
\vert-{10\over 3}\vert
\mathbb {K}
\vert+5 \Big )\end{displaymath}

termes. Cette majoration est optimale.

Abstract:
We describe the structure of sets of lattice points in the plane, having a small doubling property. Let $
\mathbb {K}
$ be a finite subset of $
\mathbb {Z}
^2$ such that

\begin{displaymath}
\vert
\mathbb {K}
+
\mathbb {K}
\vert < 3.5\vert
\mathbb {K}
\vert -7.\end{displaymath}

If $
\mathbb {K}
$ lies on three parallel lines, then the convex hull of $
\mathbb {K}
$ is contained in three compatible arithmetic progressions with the same common difference, having together no more than

\begin{displaymath}
\vert
\mathbb {K}
\vert+{3\over 4} \Big ( \vert
\mathbb {K}
+
\mathbb {K}
\vert-{10\over 3}\vert
\mathbb {K}
\vert+5 \Big )\end{displaymath}

terms. This upper bound is best possible.

Key words: Two-dimensional lattice points, small doubling property

Class. math. : 05D05, 11B75, 11P99


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique