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Bulletin de la SMF - Parutions - 129 - pages 259-284

Parutions129

Sur certains pseudogroupes de biholomorphismes locaux de $(
\mathbb 
C^n,0)$
Michel Belliart
Bulletin de la Société mathématique de France 129, fascicule 2 (2001), 259-284
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Résumé :
On montre que si $\Gamma $ est un pseudogroupe de transformations locales holomorphes de $
\mathbb 
C^n$ en zéro contenant deux éléments ``en position générale'' et proches de l'identité, alors: 1) L'action de $\Gamma $ sur le fibré des jets d'ordre infini sur un petit voisinage épointé $\mathcal B$ de est minimale (c'est-à-dire que si $z_0,z_1\in \mathcal B$ et si $\phi :z_0\to z_1$ est un germe de biholomorphisme alors il existe une suite $\gamma _n\in \Gamma $ qui converge vers $\phi $ uniformément au voisinage de z0). 2) $\Gamma $ ne préserve aucune structure géométrique au voisinage de (c'est une conséquence triviale du point 1). 3) Si un autre pseudogroupe holomorphe est topologiquement conjugué à $\Gamma $ alors la conjugaison est ou bien holomorphe, ou bien antiholomorphe. L'ingrédient principal de la preuve est la construction, pour tout pseudogroupe $\Gamma $, d'un faisceau $
\mathfrak {g}
_\Gamma $ d'algèbres de Lie sur $
\mathbb 
C^n$ dans lequel $\Gamma $ est ``dense'' en un sens naturel. Ensuite, on prouve que si $\Gamma $ satisfait une hypothèse naturelle alors $
\mathfrak {g}
_\Gamma (U)$ contient tout champ de vecteur holomorphe sur U, pour tout U ouvert dans $\mathcal B$$\mathcal B$ est le complémentaire (ouvert) de dans son bassin d'attraction.

Mots clefs : Pseudogroupes conformes, structure géométrique invariante

Abstract:
On certain pseudogroups of germs of biholomorphisms of $(
\mathbb 
C^n,0)$
Let $\Gamma $ be a pseudogroup of local holomorphic transformations of $
\mathbb 
C^n$ fixing zero. We study the dynamics of $\Gamma $. We show that if $\Gamma $ contains two elements whose 2-jets are in ``general position'' and sufficiently near the identity, then: 1) $\Gamma $ acts minimally on the bundle of infinite-order jets on some pointed neighborhood $\mathcal B$ of (that is to say: for any $z_0,z_1\in \mathcal B$ and any germ $\phi :z_0\to z_1$ of biholomorphism, there exists a sequence $\gamma _n\in \Gamma $ which converges to $\phi $ uniformly on some neighborhood of z0). 2) $\Gamma $ preserves no geometric structure near (this is a trivial consequence of 1).
3) For any holomorphic pseudogroup topologically conjugate to $\Gamma $, the germ of conjugacy at  is either holomorphic or antiholomorphic. The main feature of the proof is to attach to any pseudogroup $\Gamma $ a sheaf $
\mathfrak {g}
_\Gamma $ of Lie algebrae on $
\mathbb 
C^n$ such that $\Gamma $ is ``dense'' in $
\mathfrak {g}
_\Gamma $ in a natural sense. Then we prove that under some natural assumption on $\Gamma $, $
\mathfrak {g}
_\Gamma (U)$ must be the sheaf of all holomorphic vector fields for any U open in $\mathcal B$, where $\mathcal B$ is the (open) complementary of in its basin of attraction.

Key words: Conformal pseudo-groups, invariant geometric structure

Class. math. : 58H05, 58H15


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique