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Bulletin de la SMF - Parutions - 120 - pages 87-111

Parutions120

Problèmes de Cauchy globaux
Alex Meril - Alain Yger
Bulletin de la Société mathématique de France 120, fascicule 1 (1992), 87-111
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Résumé :
Nous envisageons le problème suivant : étant donné un polynôme P en n variables à coefficients complexes, existe-t-il, pour toute fonction entière F de n variables, une et une seule manière de diviser F par P dans l'espace des fonctions entières de manière à ce que le reste soit dans le noyau de l'opérateur $P^{*}(D_{1},\ldots ,D_{n})$, où P* est le polynôme déduit de P par conjugaison des coefficients ? Un tel procédé de division existe, comme l'a montré E. Fischer, lorsque P est homogène; il existe également, pour tout polynôme P, une décomposition orthogonale de l'espace des fonctions entières appartenant à $L^{2}(
\mathbb {C}
 ^{n},\exp (-\Vert \zeta \Vert ^{2}))$ (Newman-Shapiro). Nous prouvons ici l'injectivité de l'opérateur P*(D)[P] de l'espace des fonctions entières dans lui même lorsque $\deg (P)\leq 2$, puis nous donnons une preuve de la surjectivité sous les mêmes hypothèses, mais en dimension 2, en ayant recours à une décomposition de la donnée suivant les fonctions de Mathieu.

Abstract:
Given a polynomial P in $
\mathbb {C}
[ X_{1} ,\ldots , X_{n}]$ and the polynomial $ P^{*\ }$ defined by $P^{*}(\overline X)=\overline P(\overline X)$ , we study the operator P*(D)[P.] acting from the space of entire functions into itself. It has been proved by E. Fischer that if P is homogeneous, then one can divide any entire function F as F=PG+R where R is an entire function in the kernel of P*(D). Such a decomposition is also valid, for orthogonality reasons, when F is in $L^{2}(
\mathbb {C}
 ^{n},\exp (-\Vert \zeta \Vert ^{2}))$ , as proved by Newman-Shapiro. We prove here the injectivity of P*(D)[P.] on the space of entire functions when $\deg (P)\leq 2$ ; then, we give a proof of the surjectivity of this operator from the space of entire functions into itself when n=2, $\deg (P)\leq 2$, using an expansion of the initial data in terms of Mathieu functions.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique