Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.198.23.251
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 45 (2012)

Parutions < série 4, 45

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 45, fascicule 3 (2012)

László Székelyhidi
Relaxation of the Incompressible Porous Media Equation
Annales scientifiques de l'ENS 45, fascicule 3 (2012), 491-509

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Relaxation de l'équation des milieux poreux incompressible
Il a récemment été démontré par Córdoba, Faraco et Gancedo dans [1], que l'équation des milieux poreux en dimension 2 admet des solutions faibles avec support compact dans le temps. La démonstration, qui fait appel à la méthode par intégration convexe telle qu'elle a été développée dans [4], dans le contexte des équations d'Euler incompressibles, utilise certaines idées provenant de la théorie des laminates, et en particulier les configurations dites T4. Dans cette note, nous calculons explicitement la relaxation du IPM, évitant ainsi les configurations T4. Ceci nous permet ensuite de construire des solutions faibles au problème des interfaces instables (problème de Muskat) et a pour autre conséquence de clarifier l'approche par flot de gradient, introduite par Otto dans [14].

Mots-clefs : Solutions faibles, fluides non visqueux, non-unicié, évolution de la microstructure.

Abstract:
It was shown recently by Córdoba, Faraco and Gancedo in [1] that the 2D porous media equation admits weak solutions with compact support in time. The proof, based on the convex integration framework developed for the incompressible Euler equations in [4], uses ideas from the theory of laminates, in particular T4 configurations. In this note we calculate the explicit relaxation of IPM, thus avoiding T4 configurations. We then use this to construct weak solutions to the unstable interface problem (the Muskat problem), as a byproduct shedding new light on the gradient flow approach introduced by Otto in [14].

Keywords: Weak solutions, inviscid fluids, non-uniqueness, microstructure evolution.

Class. math. : 35Q35; 35A02, 35D30, 76S05


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Córdoba, Diego and Faraco, Daniel and Gancedo, Francisco
Lack of uniqueness for weak solutions of the incompressible porous media equation
Arch. Ration. Mech. Anal. 200 (2011) 725–746
Math Reviews MR2796131
Zentralblatt pre05952987
2
Córdoba, Diego and Gancedo, Francisco
Contour dynamics of incompressible 3-D fluids in a porous medium with different densities
Comm. Math. Phys. 273 (2007) 445–471
Math Reviews MR2318314 (2008e:76056)
Zentralblatt 1120.76064
3
Dafermos, Constantine M.
The entropy rate admissibility criterion for solutions of hyperbolic conservation laws
J. Differential Equations 14 (1973) 202–212
Math Reviews MR0328368 (48 \#6710)
Zentralblatt 262.35038
4
De Lellis, Camillo and Székelyhidi, László Jr.
The Euler equations as a differential inclusion
Ann. of Math. 170 (2009) 1417–1436
Math Reviews MR2600877 (2011e:35287)
5
De Lellis, Camillo and Székelyhidi, László Jr.
On admissibility criteria for weak solutions of the Euler equations
Arch. Ration. Mech. Anal. 195 (2010) 225–260
Math Reviews MR2564474 (2011d:35386)
6
DiPerna, Ronald J.
Compensated compactness and general systems of conservation laws
Trans. Amer. Math. Soc. 292 (1985) 383–420
Math Reviews MR808729 (87g:35148)
7
8
Howison, Sam D.
A note on the two-phase Hele-Shaw problem
J. Fluid Mech. 409 (2000) 243–249
Math Reviews MR1756390 (2001c:76044)
Zentralblatt 962.76028
9
Kirchheim, Bernd
Rigidity and Geometry of microstructures
Habilitation thesis, University of Leipzig (2003)
10
Kirchheim, Bernd and Müller, Stefan and Šverák, Vladimír
Studying nonlinear pde by geometry in matrix space
in Geometric analysis and nonlinear partial differential equations
(2003) 347–395
Math Reviews MR2008346 (2006f:35087)
11
Müller, Stefan
Variational models for microstructure and phase transitions
in Calculus of variations and geometric evolution problems (Cetraro, 1996)
Lecture Notes in Math. 1713 (1999) 85–210
Math Reviews MR1731640 (2001b:49019)
12
Müller, Stefan and Šverák, Vladimír
Convex integration for Lipschitz mappings and counterexamples to regularity
Ann. of Math. 157 (2003) 715–742
Math Reviews MR1983780 (2005i:35028)
13
Murat, François and Tartar, Luc
H-convergence
in Topics in the mathematical modelling of composite materials
Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 31 (1997) 21–43
Math Reviews MR1493039
Zentralblatt 920.35019
14
Otto, Felix
Evolution of microstructure in unstable porous media flow: a relaxational approach
Comm. Pure Appl. Math. 52 (1999) 873–915
Math Reviews MR1682800 (2000i:76120)
Zentralblatt 929.76136
15
Otto, Felix
Evolution of microstructure: an example
in Ergodic theory, analysis, and efficient simulation of dynamical systems
(2001) 501–522
Math Reviews MR1850320 (2002f:76036)
Zentralblatt 1136.76349
16
Pedregal, Pablo
Parametrized measures and variational principles
Birkhäuser, 1997
Math Reviews MR1452107 (98e:49001)
Zentralblatt 879.49017
17
Saffman, P. G. and Taylor, Geoffrey
The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid
Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 245 (1958) 312–329
Math Reviews MR0097227 (20 \#3697)
Zentralblatt 086.41603
18
Shvydkoy, R.
Convex integration for a class of active scalar equations
J. Amer. Math. Soc. 24 (2011) 1159–1174
Math Reviews MR2813340 (2012d:35295)
Zentralblatt 1231.35177
19
Siegel, Michael and Caflisch, Russel E. and Howison, Sam
Global existence, singular solutions, and ill-posedness for the Muskat problem
Comm. Pure Appl. Math. 57 (2004) 1374–1411
Math Reviews MR2070208 (2007f:35235)
Zentralblatt 1062.35089
20
Šverák, Vladimír
On regularity of the Monge-Ampère equations
(1991) , Heriot-Watt University
21
Tartar, Luc
The compensated compactness method applied to systems of conservation laws
in Systems of nonlinear partial differential equations (Oxford, 1982)
NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. 111 (1983) 263–285
Math Reviews MR725524 (85e:35079)
Zentralblatt 536.35003
22
Wooding, R. and Morel-Seytoux, H.
Multiphase fluid flow through porous media
Ann. Review Fluid Mech. 8 (1976) 233–274