Si $X$ est une variété kählérienne compacte, on étudie certaines relations entre $\pi _1(X)$, la positivité de $\Omega _X^1$ et les sous-variétés analytiques compactes génériques du revêtement universel $\widetilde X$ de $X$, qui apparaissent dans un travail de M. Gromov. On en déduit simplement certains résultats, soit connus (la simple connexité des surfaces $K3$ et les variétés rationnellement connexes), soit nouveaux (la finitude de $\pi _1(X)$ si $X$ est simple). Cette étude conduit naturellement à la construction d'une application méromorphe connexe et propre $\sigma :\widetilde X\to \widetilde Y$ dont les fibres génériques sont les sous-variétés analytiques compactes connexes maximales de $\widetilde X$. La conjecture de Shafarevitch équivaut alors au fait que $\sigma $ est holomorphe et $\widetilde Y$ Stein.