Un vieux problème consiste à chercher, pour des familles de matrices commutant quelles relations sont stables sous de petites perturbations, ou en d'autres termes, quelles C*-algèbres commutatives $C(X)$ sont matriciellement semi-projectives. En prolongeant les travaux de Davidson, Eilers-Loring-Pedersen, Lin et Voiculescu sur les matrices commutant presque, nous identifions les restrictions dimensionnelles et cohomologiques précises pour l'espace de dimension finie $X$ et obtenons ainsi une caractérisation complète: $C(X)$ est matriciellement semi-projectif si et seulement si ${\dim(X) \leq 2}$ et $H^2(X;\mathbb{Q})=0$.

 Nous donnons plusieurs applications aux problèmes de relèvement pour les C*-algèbres commutatives, en particulier aux relèvements de l'algèbre de Calkin et aux C*-algèbres $\ell$-fermés dans le sens de Blackadar.