Le genre des courbes projectives est un invariant discret qui permet une première ification des relations algébriques en deux variables. On peut ainsi se concentrer sur les espaces de modules connexes ${\mathcal M }_g$ des courbes de genre $g$ donné. Pourtant de nombreux problèmes nécessitent la donnée supplémentaire d'une fonction sur la courbe. Les espaces de modules correspondants sont les espaces de Hurwitz, dont il existe plusieurs variantes, répondant à des besoins divers. Une e de Nielsen (§1) est un ensemble, constitué à partir d'un groupe $G$ et d'un ensemble $\bf C$ de $r\geq 3$ es de conjugaison de $G$, qui décrit la monodromie de la fonction. C'est un analogue frappant du genre. En utilisant les revêtements de Frattini de $G$, chaque e de Nielsen fournit un système projectif de es de Nielsen dérivées, pour tout premier $p$ divisant $\vert G\vert $. Un système projectif non vide (infini) d'orbites d'actions de tresses dans ces es de Nielsen est une branche infinie d'un arbre de composantes. Cela correspond à un système projectif de composantes irréductibles (de dimension $r-3$) de $\{\mathcal H (G_{p,k}(G),{\mathbf C })\}_{k=0}^\infty $, la tour modulaire. La tour ique des courbes modulaires $\{Y_1(p^{k+1})\}_{k=0}^\infty $ (le cas le plus simple où $G$ est le groupe diédral $D_{2p}$, $r=4$ et $\mathbf C$ la e d'involution répétée 4 fois) en est un avatar. La conjecture principale (faible) dit que, si $G$ est $p$-parfait, il n'y a pas de points rationnels au delà d'un niveau suffisamment élevé d'une branche de composantes. Quand $r=4$, les tours modulaires (privées des pointes) sont des systèmes de quotients du demi-plan supérieur au-dessus de la droite projective de paramètre $j$. Nous thèmes.

• Identification des branches de composantes sur une tour modulaire à partir des branches de pointes $g-p^\prime $, $p$ et Weigel, grâce à la généralisation des structures de spin.
• Énoncé d'un ensemble de propriétés des branches de pointes impliquant la conjecture principale (faible) et réduction à un nombre limité de cas de tours pouvant encore éventuellement la mettre en défaut.
• Formulation d'une conjecture principale forte pour des tours modulaires de rang supérieur (avec des exemples) : presque tous les premiers conduisent à un système semblable à celui des courbes modulaires.