Soit $G$ un groupe de Lie réel connexe, $\Lambda_{0}\subseteq G$ un réseau sans torsion dans $G$, et $\Lambda \unlhd \Lambda_{0}$ un sous-groupe distingué tel que $\Lambda_{0}/\Lambda\simeq \mathbb{Z}^d$. Nous étudions la dérive d'une marche aléatoire sur le $\mathbb{Z}^d$-revêtement $\Lambda\setminus G$ de l'espace homogène de volume fini $\Lambda_{0}\setminus G$. Cette marche est définie par une mesure de probabilité  Zariski-dense à support compact $\mu$ sur $G$.  Nous supposons dans un premier temps que l'application de revêtement $\Lambda\setminus G\rightarrow \Lambda_{0}\setminus G$ ne déroule pas les pointes de   $\Lambda_{0}\setminus G$ et calculons la dérive en tout point de départ. Ensuite, nous travaillons sans cette hypothèse et décrivons la dérive en presque tout point. Le cas des variétés hyperboliques de dimension 2 se démarque par des comportements non convergents. La récurrence presque-sûre des trajectoires est aussi caractérisée dans ce contexte.