Dans cet article on démontre que la partie supercuspidale de la cohomologie de certains espaces de Rapoport-Zink de type E.L. et P.E.L. non-ramifiés associés à des groupes $p$-divisibles supersinguliers réalisent des correspondances de Langlands locales. Pour cela on démontre d'abord que l'on peut relier, via une suite spectrale de type Hochschild-Serre, la cohomologie de ces espaces à celle du tube rigide au dessus de la partie supersingulière de certaines variétés de Shimura de type P.E.L.. On montre ensuite que la partie supercuspidale en une place finie non-ramifiée de la cohomologie de la variété de Shimura est égale à celle de sa strate basique, en d'autres termes la cohomologie des strates non-supersingulières est induite parabolique, du moins du point de vue des caractères.