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Bulletin de la SMF - Titles - 145 (2017) 97-159

Titles < 145

Type theory and coefficient systems on the building
Paul Broussous, Peter Schneider
Bulletin de la SMF 145, fascicule 1 (2017), 97-159

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Résumé :
Théorie des types et système de coefficients sur l'immeuble
Soient F un corps local non archimédien et G le groupe GL(N,F), pour un entier N2. Soit une représentation lisse complexe de G appartenant au bloc de Bernstein B() d'un type simple au sens de Bushnell et Kutzko [3]. En affinant l'approche que proposent le second auteur et U. Stuhler dans [17], nous attachons canoniquement à un sous-ensemble X_ de l'immeuble de Bruhat-Tits X de G, ainsi qu'un système de coefficients G-équivariant C [] sur X_. Grossièrement parlant, le système de coefficients est construit en prenant des composantes isotypiques de selon des représentations construites à partir du type de Bushnell et Kutzko de . Nous conjecturons que lorsque possède un caractère central, le complexe de chaînes augmenté associé à C [] est une résolution de dans la catégorie B(). De plus nous réduisons cette conjecture à un lemme technique en théorie des représentations. Nous démontrons ce lemme lorsque est une représentation irréductible de la série discrète de G. Ensuite, suivant de près [18], nous attachons à toute représentation irréductible de la série discrète de G un pseudo-coefficient explicite f_ et obtenons une formule de type Lefschetz pour la valeur du caractère de Harish-Chandra de en un élément elliptique régulier. Contrairement à celle obtenue dans [18], notre formule permet des calculs explicites.

Abstract:
Let F be a non-archimedean local field and G be the group GL(N,F) for some integer N2. Let  be a smooth complex representation of G lying in the Bernstein block B() of some simple type in the sense of Bushnell and Kutzko [3]. Refining the approach of the second author and U. Stuhler in [17], we canonically attach to  a subset X_ of the Bruhat-Tits building X of G, as well as a G-equivariant coefficient system C [] on X_. Roughly speaking the coefficient system is obtained by taking isotypic components of  according to some representations constructed from the Bushnell and Kutzko type of . We conjecture that when has central character, the augmented chain complex associate to C [] is a projective resolution of  in the category B(). Moreover we reduce this conjecture to a technical lemma of representation theoretic nature. We prove this lemma when is an irreducible discrete series of G. Following closely [18], we then attach to any irreducible discrete series of G an explicit pseudo-coefficient f_ and obtain a Lefschetz type formula for the value of the Harish-Chandra character of  at a regular elliptic element. In contrast to that of [18], this formula allows explicit character value computations.


ISSN : 0037-9484
DOI : 10.24033/bsmf.2732
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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