SMF - Publications - Bulletin de la SMF - Titles - 129

Singularities of $2\Theta$ -divisors in the Jacobian
Christian Pauly - Emma Previato
Bulletin de la Société mathématique de France 129, number 3 (2001), 449-485
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Résumé :
Singularités des diviseurs $2\Theta$ d'une jacobienne
On considère le système linéaire $\vert 2\Theta _{0}\vert$ des fonctions thêta d'ordre deux sur la jacobienne JC d'une courbe non-hyperelliptique C. Un résultat de J.Fay affirme qu'un diviseur $D \in \vert 2\Theta _0\vert$ contient l'origine $\mathcal {O} \in JC$ avec multiplicié 4 si et seulement si D contient la surface $C-C = \{ \mathcal {O}(p-q)\mid p,q \in C \} \subset JC$ . Dans cet article on généralise le résultat de Fay ainsi que quelques travaux de R.C.Gunning. On décrit la relation entre les diviseurs contenant $\mathcal {O}$ avec multiplicité 6, les diviseurs contenant la sous-variété $C_2 - C_2 = \{ \mathcal {O}(p+q-r-s)\mid p,q,r,s \in C \}$ , et les diviseurs singuliers le long de C-C, en utilisant la troisième puissance extérieure de l'espace canonique et l'espace des quadriques contenant la courbe canonique. De plus on montre que certains sous-systèmes linéaires sont isomorphes aux enveloppes linéaires de lieux de Brill-Noether dans l'espace de modules des fibrés vectoriels semi-stables de rang 2 et de déterminant canonique, qui sont plongés dans $\vert 2\Theta _{0}\vert$ .

Mots clefs : Fonctions thêta, jacobienne, courbe canonique, fibré vectoriel

Abstract:
We consider the linear system $\vert 2\Theta _{0}\vert$ of second order theta functions over the Jacobian JC of a non-hyperelliptic curve C. A result by J.Fay says that a divisor $D \in \vert 2\Theta _0\vert$ contains the origin $\mathcal {O} \in JC$ with multiplicity 4 if and only if D contains the surface $C-C = \{ \mathcal {O}(p-q)\mid p,q \in C \} \subset JC$ . In this paper we generalize Fay's result and some previous work by R.C.Gunning. More precisely, we describe the relationship between divisors containing $\mathcal {O}$ with multiplicity 6, divisors containing the fourfold $C_2 - C_2 = \{ \mathcal {O}(p+q-r-s)\mid p,q,r,s \in C \}$ , and divisors singular along C-C, using the third exterior product of the canonical space and the space of quadrics containing the canonical curve. Moreover we show that some of these spaces are equal to the linear span of Brill-Noether loci in the moduli space of semi-stable rank 2 vector bundles with canonical determinant over C, which can be embedded in $\vert 2\Theta _{0}\vert$ .

Key words: Theta functions, Jacobian, canonical curve, vector bundle

Class. math. : 14H42,14H40, 14H60

ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique