Géométrie Complexe et Systèmes Dynamiques - Colloque en l'honneur d'Adrien Douady, - Orsay 1995
Marguerite Flexor, Pierrette Sentenac, Jean-Christophe Yoccoz (Éd.)
Astérisque 261 (2000), 465 pages
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Dynamics of quadratic polynomials, III- Parapuzzle and SBR measures
Mikhail Lyubich
Astérisque 261 (2000), 173-200
Résumé :
Dynamique des polynômes quadratiques III : Parapuzzles et mesures SBR
Cet article fait partie d'une série sur la dynamique des polynômes quadratiques. Nous transportons notre résultat géométrique précédent [L3] au plan des paramètres. À toute valeur c (en dehors de la cardioïde principale et des copies qui s'y rattachent) est associée ``une suite principale de pièces gigognes du parapuzzle''. Nous montrons alors que les modules des anneaux entre deux pièces consécutives croissent au moins linéairement. D'après ([L2])) et le critère géométrique de Martens & Nowicki (cf. ce volume) ceci implique que presque tout polynôme quadratique réel (au sens de la mesure de Lebesgue) est hyperbolique ou possède une mesure finie absolument continue invariante ou est infiniment renormalisable. Dans des articles ultérieurs [L5,L7] nous montrons que l'ensemble des paramètres réels infiniment renormalisables est de mesure nulle, ce qui complète la description de la dynamique pour presque tout polynôme quadratique réel.
Abstract:
This is a continuation of notes on the dynamics of quadratic polynomials. In this part we transfer our previous geometric result [L3] to the parameter plane. To any parameter value c (outside the main cardioid and the little Mandelbrot sets attached to it) we associate a ``principal nest of parapuzzle pieces''. We then prove that the moduli of the annuli between two consecutive pieces grow at least linearly. This implies, using Martens & Nowicki (cf. this volume) geometric criterion for existence of an absolutely continuous invariant measure together with [L2], that Lebesgue almost every real quadratic polynomial is either hyperbolic, or has a finite absolutely continuous invariant measure, or is infinitely renormalizable. In the further papers [L5,L7] we show that the latter set has zero Lebesgue measure, which completes the measure-theoretic picture of the dynamics in the real quadratic family.
Key words: Mandelbrot set, puzzle, invariant measure
Class. math. : 58F23, 58F03
ISBN : 2-85629-081-7
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique
