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Astérisque

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Astérisque - Titles - 1999 - 258 - pages 163-172

Titles1999258

Structure Theory of Set Addition
Jean-Marc Deshouillers, Bernard Landreau, Alexander A. Yudin (Ed.)
Astérisque 258 (1999), 458 pages
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Sumsets with distinct summands and the Erdos-Heilbronn conjecture on sums of residues
Gregory A. Freiman, Lewis Low, Jane Pitman
Astérisque 258 (1999), 163-172

Résumé :
Soit S un ensemble d'entiers ou de classes de résidus modulo un nombre premier p, de cardinalité |S|=k, et soit T l'ensemble de toutes les sommes de deux éléments distincts de S. Dans le cas des entiers, on démontre que, si |T| est plus petit qu'un nombre proche de 2.5k, alors S est contenu dans une progression arithmétique de cardinal relativement petit. Dans le cas des résidus, un résultat du même genre est obtenu, pourvu que k>60 et p>50k. Comme application, on prouve que $\vert T\vert\ge 2k-3$ sous ces conditions. Des résultats antérieurs de Freiman jouent un rôle essentiel dans les démonstrations.

Abstract:
Let S be a set of integers or of residue classes modulo a prime p, with cardinality |S|=k, and let T be the set of all sums of two distinct elements of S. For the integer case, it is shown that if |T| is less than approximately 2.5k then S is contained in an arithmetic progression with relatively small cardinality. For the residue class case a result of this type is derived provided that k>60 and p>50k. As an application, it is shown that $\vert T\vert\ge 2k-3$ under these conditions. Earlier results of Freiman play an essential role in the proofs.

Key words: sumset, set addition, sums of residues.


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique