Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.81.71.219
Accès aux édit. élec. : SémCong

Bulletin de la SMF

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Volume :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Bulletin de la SMF - Parutions - 145 (2017) 711-802

Parutions < 145

Équivalence monoïdale de groupes quantiques et K-théorie bivariante
Saad Baaj, Jonathan Crespo
Bulletin de la SMF 145, fascicule 4 (2017), 711-802

Télécharger cet article : Fichier PDF

Résumé :
Dans cet article, nous généralisons au cas localement compact et régulier, deux résultats fondamentaux [10] [27] portant sur les actions des groupes quantiques compacts. Soient G_1 et G_2 deux groupes quantiques localement compacts monoïdalement équivalents [6], [7] au sens de De Commer, et réguliers. Par un procédé d'induction que nous introduisons, nous établissons une équivalence des catégories A^G_1 et A^G_2 formées par les actions des groupes G_1 et G_2 dans les C*-algèbres. Comme application de ce résultat, nous déduisons l'équivalence des catégories KK^G_1 et KK^G_2. La preuve s'appuie sur une version de la dualité de Takesaki-Takai pour les actions continues dans les C*-algèbres d'un groupoïde mesuré quantique de base finie.

Mots-clefs : Groupes quantiques localement compacts, équivalence monoïdale, K-théorie bivariante.

Abstract:
Monoidal Equivalence of Quantic Groups and Bivariant K-Theory
In this article, we generalize to the case of regular locally compact quantum groups, two important results concerning actions of compact quantum groups (see [10] and [27]). Let G_1 and G_2 be two monoïdally equivalent regular locally compact quantum groups in the sense of De Commer (see [6], [7]). We introduce an induction procedure and we build an equivalence of the categories A^G_1 and A^G_2 consisting of continuous actions of G_1 and G_2 on C*-algebras. As an application of this result, we derive a canonical equivalence of the categories KK^G_1 and KK^G_2. We introduce and investigate a notion of actions on C*-algebras of measured quantum groupoids (see [12]) on a finite basis. The proof of the equivalence between KK^G_1 and KK^G_2 relies on a version of the Takesaki-Takai duality theorem for continuous actions on C*-algebras of measured quantum groupoids on a finite basis.

Keywords: Locally compact quantum groups, monoidal equivalence, bivariant K-theory.


ISSN : 0037-9484
DOI : 10.24033/bsmf.2751
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Baaj, Saad and Skandalis, Georges
C^-algèbres de Hopf et théorie de Kasparov équivariante
K-Theory 2 (1989) 683–721
Math Reviews MR1010978
2
Baaj, Saad and Skandalis, Georges
Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C^*-algèbres
Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993) 425–488
Math Reviews MR1235438
3
Baaj, Saad and Skandalis, Georges and Vaes, Stefaan
Non-semi-regular quantum groups coming from number theory
Comm. Math. Phys. 235 (2003) 139–167
Math Reviews MR1969723
4
Bichon, Julien and De Rijdt, An and Vaes, Stefaan
Ergodic coactions with large multiplicity and monoidal equivalence of quantum groups
Comm. Math. Phys. 262 (2006) 703–728
Math Reviews MR2202309
5
Connes, Alain
Noncommutative geometry
Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994
Math Reviews MR1303779
6
7
De Commer, Kenny
Galois coactions for algebraic and locally compact quantum groups
Thèse, Katholieke Universiteit Leuven (2009)
8
De Commer, Kenny
On a Morita equivalence between the duals of quantum SU(2) and quantum E(2)
Adv. Math. 229 (2012) 1047–1079
Math Reviews MR2855086
9
De Commer, Kenny and Freslon, Amaury and Yamashita, Makoto
CCAP for universal discrete quantum groups
Comm. Math. Phys. 331 (2014) 677–701
Math Reviews MR3238527
10
De Rijdt, An and Vander Vennet, Nikolas
Actions of monoidally equivalent compact quantum groups and applications to probabilistic boundaries
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 60 (2010) 169–216
Math Reviews MR2664313
11
Enock, Michel
Quantum groupoids of compact type
J. Inst. Math. Jussieu 4 (2005) 29–133
Math Reviews MR2115070
12
Enock, Michel
Measured quantum groupoids in action
Mém. Soc. Math. Fr. 114 (2008) 150 pp. (2009)
Math Reviews MR2541012
13
Izumi, Masaki
Non-commutative Poisson boundaries and compact quantum group actions
Adv. Math. 169 (2002) 1–57
Math Reviews MR1916370
14
Kasparov, G. G.
Hilbert C-modules: theorems of Stinespring and Voiculescu
J. Operator Theory 4 (1980) 133–150
Math Reviews MR587371
15
Kasparov, G. G.
Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture
Invent. math. 91 (1988) 147–201
Math Reviews MR918241
16
Kasprzak, P.
Rieffel deformation of group coactions
Comm. Math. Phys. 300 (2010) 741–763
Math Reviews MR2736961
17
Kustermans, Johan and Vaes, Stefaan
Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting
Math. Scand. 92 (2003) 68–92
Math Reviews MR1951446
18
Lesieur, Franck
Measured quantum groupoids
Mém. Soc. Math. Fr. 109 (2007) 158 pp. (2008)
Math Reviews MR2474165
19
Neshveyev, Sergey and Tuset, Lars
Deformation of C^-algebras by cocycles on locally compact quantum groups
Adv. Math. 254 (2014) 454–496
Math Reviews MR3161105
20
Timmermann, Thomas
Pseudo-multiplicative unitaries on C^*-modules and Hopf C^*-families. I
J. Noncommut. Geom. 1 (2007) 497–542
Math Reviews MR2342208
21
Timmermann, Thomas
Coactions of Hopf C^-bimodules
J. Operator Theory 68 (2012) 19–66
Math Reviews MR2966033
22
Vaes, Stefaan
The unitary implementation of a locally compact quantum group action
J. Funct. Anal. 180 (2001) 426–480
Math Reviews MR1814995
23
Vaes, Stefaan and Vander Vennet, Nikolas
Identification of the Poisson and Martin boundaries of orthogonal discrete quantum groups
J. Inst. Math. Jussieu 7 (2008) 391–412
Math Reviews MR2400727
24
Vaes, Stefaan and Vergnioux, Roland
The boundary of universal discrete quantum groups, exactness, and factoriality
Duke Math. J. 140 (2007) 35–84
Math Reviews MR2355067
25
Vallin, Jean-Michel
Unitaire pseudo-multiplicatif associé à un groupoïde. Applications à la moyennabilité
J. Operator Theory 44 (2000) 347–368
Math Reviews MR1794823
26
Vergnioux, Roland and Voigt, Christian
The K-theory of free quantum groups
Math. Ann. 357 (2013) 355–400
Math Reviews MR3084350
27
Voigt, Christian
The Baum-Connes conjecture for free orthogonal quantum groups
Adv. Math. 227 (2011) 1873–1913
Math Reviews MR2803790