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Bulletin de la SMF - Parutions - 122 - pages 255-284

Parutions122

Remarques sur le revêtement universel des variétés kählériennes compactes
Frédéric Campana
Bulletin de la Société mathématique de France 122, fascicule 2 (1994), 255-284
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Résumé :
Si X est une variété kählérienne compacte, on étudie certaines relations entre $\pi _1(X)$, la positivité de $\Omega _X^1$ et les sous-variétés analytiques compactes génériques du revêtement universel $\widetilde X$ de X, qui apparaissent dans un travail de M. Gromov. On en déduit simplement certains résultats, soit connus (la simple connexité des surfaces K3 et les variétés rationnellement connexes), soit nouveaux (la finitude de $\pi _1(X)$ si X est simple). Cette étude conduit naturellement à la construction d'une application méromorphe connexe et propre $\sigma :\widetilde X\to \widetilde Y$ dont les fibres génériques sont les sous-variétés analytiques compactes connexes maximales de $\widetilde X$. La conjecture de Shafarevitch équivaut alors au fait que $\sigma $ est holomorphe et $\widetilde Y$ Stein.

Abstract:
For X a compact Kähler manifold, we study relationships between $\pi _1(X)$, the positivity of $\Omega _X^1$ and generic compact subvarieties of the universal cover $\tilde X$ of X, first considered by M. Gromov. From this we deduce in a simple way results, either well-known (K3 surfaces and rationally connected manifolds are simply connected), or new ($\pi _1(X)$ is finite if X is simple). This study leads naturally to the construction of a certain proper connected surjective meromorphic map $\sigma :\widetilde X\to \widetilde Y$, the generic fibers of which are the maximal compact subvarieties of $\widetilde X$. Shafarevich's conjecture means that $\sigma $ is holomorphic with $\widetilde Y$ Stein.

Class. math. : 32 J 27, 32 J 25, 14 E 20


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique