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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 42 (2009)

Parutions < série 4, 42

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 42, fascicule 6 (2009)

Emmanuel Delsinne
Le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure
Annales scientifiques de l'ENS 42, fascicule 6 (2009), 981-1028

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Résumé :
Nous généralisons en dimension supérieure un théorème d'Amoroso et Zannier concernant le problème de Lehmer relatif. Nous minorons la hauteur d'un point d'un tore en fonction de son indice d'obstruction sur Q^ab, l'extension abélienne maximale de Q, à condition qu'il ne soit pas contenu dans une sous-variété de torsion de petit degré. Nous en déduisons une minoration du minimum essentiel d'une sous-variété non contenue dans un sous-groupe algébrique propre en fonction de son indice d'obstruction sur Q^ab. Nous montrons ainsi, à un epsilon près, les conjectures les plus fines qui peuvent être formulées dans ce cadre.

Mots-clefs : Hauteur normalisée, tore, extensions abéliennes, problème de Lehmer

Abstract:
The relative Lehmer problem in higher dimension
We generalize in higher dimension a theorem of Amoroso and Zannier concerning the relative Lehmer problem. We obtain a lower bound for the height of a point in a torus in terms of its obstruction index over Q^ab, the maximal abelian extension of Q, provided that this point does not lie in a torsion subvariety of small degree. We deduce a lower bound for the essential minimum of a subvariety not contained in a proper algebraic subgroup in terms of its obstruction index over Q^ab. We prove up to an epsilon the sharpest conjectures that can be formulated.

Keywords: Normalized height, torus, abelian extensions, Lehmer's problem

Class. math. : 11G50, 14G40, 11R20


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

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