Soient $V$ une variété de Fano et $\mathbf H$ un système de hauteurs d'Arakelov définissant un accouplement entre le groupe de Picard $\mathop {\hbox {Pic}}V$ et les points rationnels de $V$ à valeur dans $\mathbf R$. Soit $\zeta _{\mathbf H}$ la fonction zêta associée sur $\mathop {\hbox {Pic}}V\otimes \mathbf C$. Batyrev, Manin et Tschinkel ont conjecturé que cette fonction est holomorphe sur un cône de sommet le faisceau anticanonique $\omega _V^{-1}$. Il est en outre possible de donner une expression conjecturale du terme principal de cette fonction $\zeta _{\mathbf H}$ au voisinage de ce sommet. Le but de ce texte est de montrer comment cette expression conjecturale peut s'écrire naturellement en passant aux torseurs universels au-dessus de $V$.