O'Grady a démontré que certaines sextiques spéciales dans $\mathbb {P}^5$, les sextiques EPW, admettent pour revêtements doubles des variétés symplectiques holomorphes lisses. Nous proposons une nouvelle approche de ces variétés symplectiques, en montrant qu'elles se construisent à partir des schémas de Hilbert de coniques sur des variétés de Fano de dimension quatre et de degré dix. En guise d'application, nous construisons des familles de surfaces lagrangiennes dans ces variétés symplectiques, puis des systèmes intégrables dont les fibres sont des jacobiennes intermédiaires.