Soit $\bar {g}_\varepsilon $ une perturbation de la métrique hyperbolique sur $M=\mathbb {H}^2/\mathrm {PSL}$, nous démontrons que le nombre de géodésiques fermées sur $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ de longueur au plus $a$ est équivalent quand $a$ tend vers $+\infty $ à $e^{a\delta _\varepsilon }/a\delta _\varepsilon $ (où $\delta _\varepsilon $ est l'exposant critique de la série de Poincaré associée à $\mathrm {PSL}$). La démonstration de ce résultat repose sur un codage des géodésiques fermées de $(M,\bar {g}_\varepsilon )$ relié au développement en fractions continues des réels et sur l'utilisation d'un théorème du renouvellement harmonique nécessitant une étude spectrale précise de l'opérateur de transfert mis en jeu. Nous retrouvons également par cette méthode probabiliste la distribution asymptotique des constantes de Lévy des nombres quadratiques.