Dans cet article, on considère la loi limite, lorsque $n$ tend vers l'infini, de combinaisons linéaires des coefficients d'un mouvement Brownien sur le groupe des matrices unitaires $n\times n$. On prouve que le processus d'une telle combinaison linéaire converge vers un processus gaussien. Différentes échelles de temps et différentes lois initiales sont considérées, donnant lieu à plusieurs processus limites, liés à la construction géométrique du mouvement Brownien unitaire. En application, on propose une preuve très courte du caractère asymptotiquement gaussien des coefficients d'une matrice unitaire distribuée selon la mesure de Haar, un résultat déjà prouvé par Diaconis et al.