La stabilité non linéaire des trous noirs est actuellement l'un des problèmes ouverts centraux de la relativité générale. Des arguments heuristiques, de nature physique, ont été avancés pour établir la première étape, la stabilité linéaire; cependant aucun d'eux n'est soit suffisamment convaincant, soit suffisamment robuste pour s'appliquer dans le cadre non linéaire. Cette situation a changé radicalement dans les années récentes grâce à de nouvelles méthodes géométriques introduites par divers auteurs. Dans mon exposé, j'essaierai de présenter les principales idées à la source de ces résultats et me concentrerai, en particulier, sur les résultats remarquables de M. Dafermos et I. Rodnianski concernant le caractère borné et la décroissance des solutions de l'équation des ondes dans un espace-temps de Kerr.