Nous présentons une étude de la constante d'Hermite générale introduite par T. Watanabe et associée au groupe $\mathrm {GL}_n$ et ses représentations fortement rationnelles. A cette fin, nous construisons une hauteur qui s'applique naturellement aux variétés drapeaux et nous définissons une notion de perfection et une notion d'eutaxie propres à caractériser l'extrêmalité. Enfin, nous présentons quelques relations (par exemple avec la réduction de Korkine–Zolotareff), majorations et calculs relatifs à ces constantes.