Nous démontrons une formule explicite pour les intégrales des es de Segre des fibrés tautologiques sur les schémas de Hilbert ponctuels d'une surface $K3$. À cette fin, on utilise la formule de localisation de la e virtuelle fondamentale pour certains schémas Quot de Grothendieck associés à la surface $K3.$ On en déduit sur les schémas de Hilbert ponctuels des formules récursives entraînant les es de Segre, qu'on peut résoudre explicitement. Ce résultat établit une conjecture de M. Lehn de 1999, dans le cas des surfaces de e canonique triviale. Les récursions décrites ici appartiennent à un tableau beaucoup plus vaste. En localisant les es virtuelles des schémas Quot relatifs, on obtient des nouvelles relations entre les es tautologiques dans l'anneau de Chow des espaces des modules des surfaces et de leurs schémas de Hilbert ponctuels relatifs. Pour l'espace des modules des surfaces $K3$, cette méthode donne des relations entre les es kappa et les es de Noether-Lefschetz. Nous proposons de nouvelles conjectures sur les anneaux de Chow tautologiques.