SMF - Vie de la société - Journée annuelle 1997

My work was directly or indirectly under the influence of Henri Cartan. My teachers in the University of Muenster were H. Scholz (Mathematical Logic) and H. Behnke and K. Stein (Complex Analysis). The cooperation and friendship between Behnke and Cartan lasted from 1931 through the years of the Nazi terror and the war until October 10, 1979, when Behnke died. Through Behnke and Cartan my mathematical life took place in an international setting from its very beginning. Cartan visited Muenster for the first time after the war in December 1949. But already in November 1946 he had been in Oberwolfach. At the ETH in Zuerich I could combine what I knew about "Complex Analysis" with topological aspects. In my dissertation I resolved the singularities of complex spaces of dimension two, using some concept of complex space. Various definitions of complex spaces were developed by Behnke and Stein in Muenster and by Cartan in his Paris seminar of 1951/52. I am proud that Cartan reported about my dissertation in the Seminaire Bourbaki (Dec. 1953). I should say how much I learned from Cartan with respect to Algebraic Topology and Sheaf Theory in Complex Analysis. R. Remmert reports about this time : "The French Revolution, 1950-1953 : Henri Cartan and Jean-Perre Serre" ! As one can see, I benefited from the French revolution. Serre reported on parts of my book "Neue topologishe Methoden in der Algebraischen Geometrie" in the Seminaire Bourbaki (Dec. 1953). The book became my Habilitationschrift (Muenster). I can be glad that Dissertation and Habilitationschrift occurred in the same Bourbaki meeting with Cartan and Serre reporting. My "Antrittsvorlesung" for the Habilitation took place in Muenster in 1955. Henri Cartan was present. Behnke told me : "This is very simple. The dean, who is a professor of Pharmacy, should understand everything and Cartan should find it interesting".

"Sur les variétés projectives hyperboliques"

par J.-P. Demailly

L'exposé concerne l'étude d'une certaine classe de variétés algébriques projectives, à savoir les variétés hyperboliques au sens de Kobayashi, qui sont par définition celles pour lesquelles la famille des applications holomorphes du disque unité à valeurs dans la variété forme une famille normale. On essaiera d'expliquer les liens qui existent entre la propriété d'hyperbolicité au sens de Kobayashi et l'existence de certaines métriques "de jets" à courbure négative. Ces liens avaient été conjecturés par Kobayashi au début des années 1970, et ont été grandement précisés dans la décennie qui a suivi par des travaux fondamentaux de Ochiai, Green-Griffiths, Kawamata et Noguchi (d'autres conjectures dues à Lang et Vojta mettent en lumière les relations profondes de ces questions avec des problèmes classiques de théorie des nombres, en particulier la généralisation en dimension supérieure du théorème de Mordell-Faltings, mais ce point de vue ne sera pas abordé). Des travaux très récents de Siu et Yeung, que nous essaierons d'aborder, ont permis de mieux comprendre le rôle joué par l'existence de certains opérateurs différentiels algébriques globaux sur la variété.

"Divers aspects des opérations de Steenrod"

par J. Lannes

Soient X un espace topologique et k un anneau commutatif ; on note H*(X;k) le n-ième groupe de cohomologie singulière à coefficients dans k de X et H*(X;k) le k-module gradué {Hⁿ(X;k)} nεN. En fait H*(X;k) possède une structure plus riche que celle de k-module gradué : c'est une k-algèbre graduée commutative ; en d'autres termes, on dispose d'un produit bilinéaire associatif H*(X;k) H*(X;k) Æ H*(X;k), noté (u,v) a u ( v avec v ( u = (-1)3u33v3u ( v, || désignant le degré d'un élément de H*(X;k).

Pour k = Q, c'est la fin de l'histoire. En effet, on peut donner sens à l'assertion suivante : la cohomologie rationnelle ne possède pas de structure plus riche que celle de Q-algèbre graduée commutative (nous trichons un petit peu, il faut plutôt considérer ici la structure de coalgèbre de l'homologie).

Pour k = Fp, l'histoire continue. Prenons par exemple p = 2. On dispose d'opérations naturelles Sqi : Hn(X;F2) Æ Hn+i(X;F2), 0 ¾ i ¾ n (les carrés de Steenrod). La composition de ces opérations est régie par certaines relations (les relations d'Adem) ; un F2-espace vectoriel gradué muni d'opérations Sqi satisfaisant ces relations est appelé un A-module instable (A désigne ici l'algèbre de Steenrod). En outre les structures de A-module instable et de F2-algèbre graduée de H*(X;F2) vérifient certaines conditions de compatibilité (notamment la formule de Cartan) ; on dit que H*(X;F2) est une A-algèbre instable. On peut alors montrer que la cohomologie modulo 2 ne possède pas de structure plus riche que celle de A-algèbre instable.

Après ce long préambule, voici le plan de l'exposé. On précisera tout d'abord quelque peu le contenu de ce préambule. On montrera ensuite les opérations de Steenrod en action dans diverses questions de topologie algébrique, du problème de l'invariant de Hopf un à la solution de la conjecture de Sullivan sur les points fixes homotopiques. (Si le temps le permet, on fera allusion à l'introduction par Voevodsky des opérations de Steenrod en cohomologie motivique qui la conduit à une preuve de la conjecture de Milnor concernant la cohomologie galoisienne des corps.)