Séminaires et Congrès - Titles - 26 (2011)
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Operads 2009
Loday, Jean-Louis and Vallette, Bruno
Séminaires et Congrès 26 (2011), 281 pages
Summary
Résumé :
Une opérade est un outil mathématique qui permet de décrire universellement une grande variété de structures algébriques. Née en topologie algébrique dans les années soixante-dix pour reconnaître les espaces de lacets itérés, la théorie des opérades a connu une renaissance dans les années quatre-vingt dix, notamment grâce à la théorie quantique des champs. L'universalité de cette notion fait qu'aujourd'hui cette théorie a investi de nombreux domaines comme la géométrie différentielle (théorie de la déformation), la géométrie algébrique (espaces de modules de courbes, invariants de Gromov-Witten), la géométrie non-commutative (homologie cyclique), la combinatoire algébrique (algèbres de Hopf), la physique théorique (théories des champs, renormalisation), l'informatique théorique (systèmes de réécriture) et l'algèbre universelle. Le but de ce volume est de présenter cette diversité de sujets dans lesquels la théorie des opérades joue maintenant un rôle important. Il fait suite à une école et à une conférence ``Opérades 2009'' qui se sont tenues au CIRM (Luminy, France) en avril 2009.
Mots-clefs : Algèbre de Hopf, algèbre dendriforme, algèbre de Lie tordues, algèbre pré-Lie, algorithme de Buchberger, bar construction, bases de Poincaré-Birkhoff-Witt, bases de Gröbner, braces, catégorie d'arbres, catégorie de Koszul, catégorification, cohomologie de Hochschild, confluence, complétion de Knuth-Bendix, diagrammes de flot, dualité de Koszul, espaces de configurations, foncteurs de Schur, forme canonique, graphes de Feynman, groupe de Grothendieck, homologie des E_n-algèbres, identités parmi les relations, language de programmation Haskell, méthodes de programmation, n-catégories, opérades, opérades colorées, opérade de battage, (co)opérade de Gerstenhaber, (co)opérade de Poisson, opérade des chemins brisés, opérades des petits disques, opérations naturelles, polygraphes, permutations, présentation par générateurs et relations, prop, réécriture, renormalisation perturbative, S-modules, tangle, théorème de liberté, théorèmes de Poincaré-Birkhoff-Witt, théorie algébrique, treillis de Tamari, tresse
Abstract:
An operad is a mathematical device which allows one to encode universally a wide variety of algebraic structures. Unraveled in the seventies in algebraic topology to recognize n-fold loop spaces, it has enjoyed a renaissance in the nineties mainly under the impulse of quantum field theories. This universal notion is now used in many domains of mathematics like differential geometry (deformation theory), algebraic geometry (moduli spaces of curves, Gromov-Witten invariants), noncommutative geometry (cyclic homology), algebraic combinatorics (Hopf algebras), theoretical physics (field theories, renormalization), computer science (rewriting systems) and universal algebra. The purpose of the present volume is to present contributions of the notion of operad in these fields, where it plays an important rôle. It follows a school and a conference ``Operads 2009'' which took place at the CIRM (Luminy, France) in April 2009.
Keywords: Algebraic theory, braid, Buchberger algorithm, braces, canonical form, confluence, categorical bar construction, categorification, colored operads, configurations spaces, dendriform algebra, diagram rewriting, E_n-algebra homology, Feynman graphs, flowcharts, freeness theorems, Gerstenhaber (co)operad, Gröbner bases, Grothendieck group, Haskell language, Hochschild cohomology, Hopf algebras, identities among relations, Koszul categories, Koszul duality theory, Knuth-Bendix completion, lattice path operad, little disks operads, natural operations, n-category, operads, permutation, perturbative renormalization, Poincaré-Birkhoff-Witt bases, Poincaré-Birkhoff-Witt theorem, Poisson (co)operad, polygraph, pre-Lie algebras, presentation by generators and relations, programming methods, prop, Schur functor, S-modules, shuffle operad, Tamari lattice, tangle, tree categories,twisted Lie algebras
Class. math. : 05C05, 06A11, 08B20, 16G20, 16S15, 17B35, 17D99, 18C10, 18D05, 18D50, 18G15, 18G55, 18D20, 55P48, 55R80, 55U99, 57T30, 68Q05, 68Q12, 68Q25, 68Q42, 68W30
