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Mémoires de la SMF - Titles - 153 (2017)

Titles < 2017

Factorization of Non-Symmetric Operators and Exponential H-Theorem
M.P. Gualdani, S. Mischler & C. Mouhot
Mémoires de la SMF 153 (2017), 137 pages
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Résumé :
Factorisation d'opérateurs non symétriques et théorème §H§ exponentiel
Nous présentons une méthode abstraite pour démontrer des estimations de décroissance sur les résolvantes et les semi-groupes d'opérateurs non-symétriques dans des espaces de Banach, à partir d'estimations dans un autre espace de Banach de référence plus petit. Le cœur de la méthode est un argument de factorisation quantifiée d'ordre élevé sur les résolvantes et semi-groupes, et met en évidence une condition de régularisation sur un commutateur au niveau des semi-groupes. Nous appliquons ensuite cette approche à l'équation de Fokker-Planck, à l'équation de Fokker-Planck cinétique dans le tore, ainsi qu'à l'équation de Boltzmann linéarisée dans le tore. Grâce à ces derniers résultats, et au moyen d'une méthode d'énergie non-linéaire, nous obtenons la première preuve constructive de la relaxation exponentielle vers l'équilibre avec taux optimal pour l'équation de Boltzmann non-linéaire complète, pour des interactions de type sphères dures, conditionnellement à des bornes de régularité et de moments polynômiaux ; cela résoud une conjecture sur le taux de relaxation optimal de l'entropie relative dans le théorème H.

Abstract:
We present an abstract method for deriving decay estimates on the resolvents and semigroups of non-symmetric operators in Banach spaces, in terms of estimates in another smaller reference Banach space. The core of the method is a high-order quantitative factorization argument on the resolvents and semigroups, and it makes use of a semigroup commutator condition of regularization. We then apply this approach to the Fokker-Planck equation, to the kinetic Fokker-Planck equation in the torus, and to the linearized Boltzmann equation in the torus. Thanks to the latter results and to a non-symmetric energy method, we obtain the first constructive proof of exponential decay, with sharp rate, towards global equilibrium for the full non-linear Boltzmann equation for hard spheres, conditionally to some smoothness and (polynomial) moment estimates; this solves a conjecture about the optimal decay rate of the relative entropy in the H-theorem.

Keywords: Spectral gap – semigroup – spectral mapping theorem – quantitative – Plancherel theorem – coercivity – hypocoercivity – dissipativity – hypodissipativity – Fokker-Planck equation – Boltzmann equation – H-theorem – exponential rate – stretched exponential weight – Povzner estimate – averaging lemma – thermalization – entropy

Class. math. : 47D06, 34G10, 34K30, 35P15, 47H20, 37L05, 47J35, 54H15, 58D07, 35Q84, 76P05, 82B40, 82C40, 82D05


ISBN : 978-2-85629-874-9
ISSN : 0249-633X (print) 2275-3230 (electronic)
DOI : 10.24033/msmf.461
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique