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Cours spécialisés - Titles - 25 (2018)

Titles

Lectures on Elliptic Methods for Hybrid Inverse Problems
Méthodes elliptiques pour les problèmes inverses hybrides
Giovanni S. Alberti, Yves Capdeboscq
Cours spécialisés 25 (2018), viii+226 pages
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Résumé :

Récemment plusieurs nouvelles modalités d’imagerie ont été développées afin de permettre la détection de paramètres physiques avec une haute résolution spatiale et une forte sensibilité au contraste, simultanément. Ces nouvelles approches proviennent typiquement de l'interaction entre deux méthodes d’imagerie physique, et les modèles mathématiques correspondants sont appelés des problèmes inverses hybrides, ou multi-physiques. L’association de deux modalités physiques pose de nouveaux défis mathématiques, et l’analyse de cette nouvelle classe de problèmes inverses requiert l’utilisation d’outils mathématiques variés, souvent intéressant en eux-mêmes. L’objet de ce livre est de fournir un premier cours complet sur certains de ces outils (principalement issus des équations aux dérivées partielles elliptiques) et de leurs applications aux problèmes inverses hybrides. Sur certains sujets, tels que l’observabilité de l’équation des ondes, l’extension du Théorème de Radó-Kneser-Choquet à l’équation de conduction, les solutions de l’optique géométrique complexes et la propriété d’approximation de Runge, nous passons en revue des résultats bien connus. Ces éléments sont présentés dans une perspective clairement orientée vers les applications aux problèmes inverses voulues. Pour d’autre sujets, comprenant la théorie de la régularité et l’étude de perturbations de faible volume pour les équations de Maxwell, les estimations de dispersion pour l’équation de Helmholtz et l’étude de contraintes de non nullité pour les solutions de certaines EDP, nous présentons plusieurs résultats nouveaux. Nous montrons alors comment tous ces outils peuvent êtres appliqués à l’analyse de la reconstruction de paramètres de certains problèmes inverses hybrides : la tomographie acousto-électrique, l’imagerie d’impedance par densité de courant, l’élastographie Dynamique, la tomographie Thermoacoutisque et Photoacoustique.

Mots-clefs : Problemes inverses multi-physique, Imagerie Hybride, Equations de Maxwell, Regularie Elliptique, Estimations de Dispersion, Functions de Bessel, Perturbations de faible volume, Tenseurs de Polarisation, Equations d'Helmholtz, Observabilite, Controlabilite, Methode d'Unicite de Hilbert, Equation des Ondes, Theoreme de Rado-Kneser-Choquet, Points Critiques, Solutions de l'Optique Geometrique Complexes, Propriete d'Approximation de Runge, Continuation Unique, Tomographie Photoacoustique, Tomographie thermonacoustique, Elastographie Dynamique, Imagerie d'Impedance par Densite de Courant, Tomographie Acousto-Electrique.

Abstract:
In recent years, several new imaging modalities have been developed in order to be able to detect physical parameters simultaneously at a high spatial resolution and with a high sensitivity to contrast. These new approaches typically rely on the interaction of two physical imaging methods, and the corresponding mathematical models are the so-called hybrid, or coupled-physics, inverse problems. The combination of two physical modalities poses new mathematical challenges: the analysis of this new class of inverse problems requires the use of various mathematical tools, often of independent interest. This book intends to provide a first comprehensive course on some of these tools (mainly related to elliptic partial differential equations) and on their applications to hybrid inverse problems. For certain topics, such as the observability of the wave equation, the generalisation of the Radó-Kneser-Choquet Theorem to the conductivity equation, complex geometrical optics solutions and the Runge approximation property, we review well-known results. The material is presented with a clear focus on the intended applications to inverse problems. On other topics, including the regularity theory and the study of small-volume perturbations for Maxwell's equations, scattering estimates for the Helmholtz equation and the study of non-zero constraints for solutions of certain PDE, we discuss several new results. We then show how all these tools can be applied to the analysis of the parameter reconstruction for some hybrid inverse problems: Acousto-Electric tomography, Current Density Impedance Imaging, Dynamic Elastography, Thermoacoustic and Photoacoustic Tomography.

Keywords: coupled-physics inverse problems, hybrid imaging, Maxwell's equations, Elliptic Regularity Theory, scattering estimates, Bessel functions, small-volume perturbations, polarisation tensors, Helmholtz equation, observability, controllability, Hilbert uniqueness method, wave equation, the Radó–Kneser–Choquet theorem, critical points, complex geometrical optics solutions, Runge approximation, unique continuation, photoacoustic tomography, thermoacoustic tomography, dynamic elastography, current density impedance imaging, acousto-electric tomography

Class. math. : 35R30, 35Q93, 35B65, 35B30, 35J25, 35Q61, 35P25, 35J05


ISBN : 978-2-85629-872-5
ISSN : 1284-6090
Publié avec le concours de : Fondation Sciences Mathématiques de Paris