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Cours spécialisés - Titles - 24 (2017)

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Variétés algébriques réelles
Frédéric Mangolte
Cours spécialisés 24 (2017), viii + 484 pages
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Résumé :
Les variétés algébriques réelles sont omniprésentes. Ce sont les premiers objets rencontrés lors de l'apprentissage des coordonnées puis des équations. Pourtant l'étude systématique de ces objets, si élémentaires soient-ils, est redoutable. Ce livre s'adresse à deux types de publics : il s'agit tout autant d'accompagner le lecteur, muni du seul bagage d'algèbre et géométrie niveau master, dans l'apprentissage des bases de cette riche théorie que d'apporter au lecteur plus avancé de nombreux résultats fondamentaux souvent absents de la littérature disponible, le fameux « folklore ». En particulier, l'introduction pour les non-spécialistes des méthodes topologiques de la théorie constitue l'une des originalités de l'ouvrage. Les trois premiers chapitres présentent les bases et les méthodes classiques de la géométrie algébrique complexe et réelle. Les trois derniers chapitres se concentrent chacun sur un aspect plus spécifique des variétés algébriques réelles. Un panorama des connaissances classiques y est dressé ainsi que des développements majeurs de ces vingt dernières années en matière de topologie et géométrie des variétés de dimension deux et trois, sans oublier les courbes, sujet central du fameux XVIe problème de Hilbert. Des exercices de niveaux variés sont proposés et les solutions de bon nombre d'entre eux sont données à la fin de chaque chapitre. Frédéric Mangolte est professeur à l'université d'Angers. Il est spécialiste des variétés algébriques réelles, notamment de leur topologie et de leur géométrie. Ses travaux de recherche traitent en particulier des surfaces de type spécial, des variétés de dimension trois, de différents avatars du groupe de Cremona. Cet ouvrage est né de sa volonté de compléter la littérature disponible.

Mots-clefs : Géométrie algébrique réelle, variétés algébriques réelles, complexification, théorie de Smith, variétés Galois-Maximales, cycles algébriques, modèles algébriques réels, courbes algébriques, surfaces algébriques, topologie des variétés algébriques, applications régulières, applications rationnelles, singularités, approximations algébriques, théorème de Comessatti, théorème de Rokhlin, conjecture de Nash, XVIe problème de Hilbert, groupe de Cremona, faux plans réels

Abstract:
Real Algebraic Varieties
Real algebraic varieties are ubiquitous. They are the first objects met during the learning of coordinates then equations, but the systematic study of these objects, however elementary they may be, is formidable. This book is intended for two kinds of audiences: it is as much a matter of accompanying the reader, provided with the algebra and geometry master level, in learning the basics of this rich theory that to bring to the most advanced reader many fundamental results often missing from the available literature, the « folklore ». In particular, the introduction of topological methods of the theory to non-specialists is one of the original features of the book. The first three chapters introduce the basis and classical methods of real and complex algebraic geometry. The last three chapters each focus on one more specific aspect of real algebraic varieties. A panorama of classical knowledge is made as well as major developments of the last twenty years in terms of topology and geometry of varieties of dimension two and three, without forgetting the curves, the central subject of Hilbert's famous sixteenth problem. Various level exercises are given, and the solutions of many of them are provided at the end of each chapter.

Keywords: Real algebraic geometry, real algebraic varieties, complexification, Smith's theory, Galois-Maximal varieties, algebraic cycles, real algebraic models, algebraic curves, algebraic surfaces, topology of algebraic varieties, regular maps, rational maps, singularities, algebraic approximation, Comessatti theorem, Rokhlin theorem, Nash conjecture, Hilbert's XVI problem, Cremona group, real fake planes

Class. math. : 14P25, 14P05, 14Pxx, 14E05, 14E07, 14R05, 14Jxx, 14Hxx, 26C15, 32Jxx, 57M50, 57Mxx, 57N10.


ISBN : 978-2-85629-864-0
ISSN : 1284-6090