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Cours Spécialisés - Titles - 4

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Spectres de Graphes
Yves Colin de Verdière
Cours Spécialisés 4 (1998), 122 pages
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Résumé :
Le but de ce livre est de développer pour les graphes finis l'analogue de la théorie spectrale pour les opérateurs du type laplacien riemannien ou opérateur de Schrödinger sur une variété compacte.

Dans le cas des graphes, les objets de base sont les opérateurs de type Schrödinger (avec ou sans champ magnétique) sur un graphe fini. Ces ensembles contiennent les laplaciens canoniques étudiés habituellement. Ils contiennent aussi ceux que l'on rencontre comme limites singulières d'opérateurs continus, dans les méthodes numériques du type éléments finis ainsi que les générateurs de processus de Markov réversibles.

Après un premier chapitre où sont données les premières définitions et des exemples de problèmes conduisant à des spectres de graphes et un deuxième chapitre consacré aux généralités d'analyse fonctionnelle (minimax, théorèmes de Perron-Frobenius et de Courant, mesures spectrales), on aborde quatre sujets: le trou spectral et les fameuses inégalités de Cheeger, les multiplicités et analogues discrets du théorème de Cheng, discret et continu et réseaux électriques.

Mots clefs : Graphe, spectre de graphe, plongement de graphe, perturbation singulière de valeurs propres, effet tunnel, éléments finis, équation de Schrödinger

Abstract:
Spectra of graphs
The aim of this book is to develop for finite graphs some analogues of the spectral theory of Schrödinger operators on compact manifolds.

For graphs, the basic objects are sets of Schrödinger type operators (with or without magnetic field). These sets include the canonical Laplacians on graphs which are usually considered as well as singular limits of continuous Schrödinger operators, singular limits of reversible Markov processes or finite elements methods.

After two introductory chapters (definitions and basic examples, functional analysis, Perron-Frobenius and Courant nodal theorems, eigenvalues perturbation theory), the subjects presented in this book are: spectral gaps and Cheeger's inequalities, multiplicities of eigenvalues and Cheng's type theorem, discrete and continuous Schrödinger operators and electrical networks.

Class. math. : 05C10, 05C15, 05C50, 35J10, 58G25


ISBN : 2-85629-068-X
ISSN : 1284-6090