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Cours spécialisés

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Cours Spécialisés - Titles - 3

Titles

Fonctions symétriques, polynômes de Schubert et lieux de dégénérescence
Laurent Manivel
Cours Spécialisés 3 (1998), 185 pages
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Résumé :
Ce cours comprend deux chapitres de nature combinatoire. Le premier est consacré aux fonctions symétriques, et aux propriétés des polynômes de Schur. Nous les étudions à l'aide, en particulier, de manipulations sur les tableaux, définies à l'aide du procédé d'insertion de Knuth. Nous montrons également que ces polynômes représentent les caractères des représentations irréductibles des groupes symétriques.

Le second chapitre est une étude des polynômes de Schubert, définis par A. Lascoux et M.-P. Schützenberger en termes de différences divisées. Ces polynômes sont associés aux permutations, et leur combinatoire est très liée à l'ordre de Bruhat sur les groupes symétriques, ainsi qu'à certaines algèbres de Hecke de ces groupes.

Le troisième et dernier chapitre est au contraire d'essence géométrique, puisqu'il a pour thème l'étude des variétés de Schubert dans les grassmanniennes et les variétés de drapeaux. Le fait que les classes d'homologie de ces variétés soient représentées par des polynômes de Schur, ou de Schubert, permet de traduire géométriquement bon nombre des résultats des deux premiers chapitres. Enfin, les variétés de Schubert étant des modèles universels de certains lieux de dégénérescence de morphismes entre fibrés vectoriels, nous en déduisons des expressions des classes d'homologie de ces lieux en termes de classes caractéristiques des fibrés impliqués.

Mots clefs : Classe de Chern, grassmannienne, groupe symétrique, homologie singulière, ordre de Bruhat, partition, permutation, polynôme de Schubert, polynôme de Schur, représentation, tableau, variété de drapeaux, variété de Schubert

Abstract:
Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci
This course begins with two chapters of combinatorial nature. The first one is devoted to symmetric functions, and to the properties of Schur polynomials, which we study with the help of Young tableaux and the Knuth insertion algorithm. We show that these polynomials can be identified with the characters of the irreducible representations of symmetric groups.

The second chapter is a study of Schubert polynomials, which were defined by A. Lascoux and M.-P. Schützenberger in terms of divided differences. These polynomials are associated with permutations. Their combinatorics is related to the Bruhat order on symmetric groups, and to certain Hecke algebras of these groups.

The third and last chapter is, on the contrary, of geometrical nature, its main theme being the study of Schubert varieties inside grassmannians and flag manifolds. The fact that the homology classes of these varieties can be represented by Schur or Schubert polynomials, allows one to translate in geometrical language most of the results of the first two chapters. And since these Schubert varieties are universal models for certain degeneracy loci of morphisms between vector bundles, we deduce expressions for the homology classes of these loci in terms of characteristic classes of the bundles involved.

Class. math. : 05E05, 05E10, 14M15, 14N10, 20C30, 57T15


ISBN : 2-85629-066-3
ISSN : 1284-6090