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Bulletin de la SMF - Titles - 144 (2016) 775-817

Titles < 144

Répartition des fonctions complètement Q-additives le long des carrés de polynômes sur un corps fini
Mireille Car, Christian Mauduit
Bulletin de la SMF 144, fascicule 4 (2016), 775-817

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Résumé :
Soit F un corps fini à q éléments (q impair), Q F [T ] et f une fonction complètement Q-additive à valeurs entières. L'objet de ce travail est l'étude des sommes d'exponentielles _XF[T]X<N(2if(X^2)) pour R. Nous en déduisons en particulier une condition nécessaire et suffisante portant sur f pour que, pour tout (a,m) NN^*, on ait cardX AX < N, f(X^2)a(modm)=q^Nm+O(q^(1-h)N), avec 0<h<1.

Mots-clefs : Polynômes sur un corps fini, fonctions Q-additives, sommes d'exponentielles.

Abstract:
Repartition of completely Q-additive functions along squares of polynomials over a finite field
Let F be a finite field with q elements (q odd), Q F [T ] and f an integer valued completely Q-additive function. The goal of this work is to study the exponential sums _XF[T]X<N(2if(X^2)) for R. In particular, this study provides a necessary and sufficient condition on f under which, for any (a,m) NN^*, we have cardX AX < N, f(X^2)a(modm)=q^Nm+O(q^(1-h)N), with 0<h<1.

Keywords: Polynomials over a finite field, Q-additive functions, exponential sums.

Class. math. : 11 T 55.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Bassily, N. L. and Kátai, I.
Distribution of the values of q-additive functions on polynomial sequences
Acta Math. Hungar. 68 (1995) 353–361
Math Reviews MR1333478
2
Car, Mireille
Quadratic forms on <b>F</b>q[T]
J. Number Theory 61 (1996) 145–180
Math Reviews MR1418324
3
Carlitz, L.
Diophantine approximation in fields of characteristic p
Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952) 187–208
Math Reviews MR0048503
4
Car, Mireille and Mauduit, Christian
Sur les puissances des polynômes sur un corps fini
Unif. Distrib. Theory 8 (2013) 171–182
Math Reviews MR3155466
5
Drmota, Michael
The joint distribution of q-additive functions
Acta Arith. 100 (2001) 17–39
Math Reviews MR1864623
6
Drmota, Michael
Subsequences of automatic sequences and uniform distribution
in Uniform distribution and quasi-Monte Carlo methods
Radon Ser. Comput. Appl. Math. 15 (2014) 87–104
Math Reviews MR3287361
7
Drmota, Michael and Gutenbrunner, Georg
The joint distribution of Q-additive functions on polynomials over finite fields
J. Théor. Nombres Bordeaux 17 (2005) 125–150
Math Reviews MR2152215
8
Drmota, Michael and Mauduit, Christian and Rivat, Joël
Primes with an average sum of digits
Compos. Math. 145 (2009) 271–292
Math Reviews MR2501419
9
Drmota, Michael and Morgenbesser, Johannes F.
Generalized Thue-Morse sequences of squares
Israel J. Math. 190 (2012) 157–193
Math Reviews MR2956237
10
Effinger, Gove W. and Hayes, David R.
Additive number theory of polynomials over a finite field
The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1991
Math Reviews MR1143282
11
Hayes, David R.
The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles
Acta Arith. 11 (1966) 461–488
Math Reviews MR0201422
12
Kim, Dong-Hyun
On the joint distribution of q-additive functions in residue classes
J. Number Theory 74 (1999) 307–336
Math Reviews MR1671677
13
Lidl, Rudolf and Niederreiter, Harald
Finite fields
Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, 1983
Math Reviews MR746963
14
Madritsch, Manfred G. and Thuswaldner, Jörg M.
Weyl sums in Fq[x] with digital restrictions
Finite Fields Appl. 14 (2008) 877–896
Math Reviews MR2457535
15
Martin, Bruno and Mauduit, Christian and Rivat, Joël
Théoréme des nombres premiers pour les fonctions digitales
Acta Arith. 165 (2014) 11–45
Math Reviews MR3263939
16
Martin, Bruno and Mauduit, Christian and Rivat, Joël
Fonctions digitales le long des nombres premiers
Acta Arith. 170 (2015) 175–197
Math Reviews MR3383644
17
Mauduit, Christian and Rivat, Joël
La somme des chiffres des carrés
Acta Math. 203 (2009) 107–148
Math Reviews MR2545827
18
Mauduit, Christian and Rivat, Joël
Sur un problème de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers
Ann. of Math. 171 (2010) 1591–1646
Math Reviews MR2680394
19
Mauduit, Christian and Rivat, Joël
Prime numbers along Rudin-Shapiro sequences
J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17 (2015) 2595–2642
Math Reviews MR3420517
20
Mauduit, Christian and Rivat, Joël
Rudin-Shapiro sequences along squares
21
Rhin, Georges
Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini
Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 95 (1972)
Math Reviews MR0349612