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Bulletin de la SMF - Titles - 124 - pages 97-139

Titles124

Fractions continues multidimensionnelles et lois stables
Anne Broise
Bulletin de la Société mathématique de France 124, number 1 (1996), 97-139
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Résumé :
Soit $\displaystyle T : (x_1,\dots ,x_d) \mapsto \bigl ({ x_2 \over x_1} - a_1,\dots ,{x_d\over x_1} - a_{d-1}, {1\over x_1} - a_d\bigr )$ l'opérateur de Jacobi-Perron sur [0,1]d. On étudie ici le comportement asymptotique du n-ième reste Tn x et celui des variables aléatoires an(x) générées par l'algorithme de Jacobi-Perron quand x est uniformément réparti dans [0,1]d.

On montre que Tn x converge en loi vers $\mu $ l'unique mesure de probabilité invariante par T et absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et que sa densité h est une fonction strictement positive, analytique sur chacun des ensembles $
\mathbb {W}
_\sigma = \{0 \leq x_{\sigma (1)} \leq \cdots \leq x_{\sigma (d)}\leq 1\}$, $\sigma $ dans $
\mathfrak {G}
_d$.

Ensuite, on montre que les sommes $ n^{-\bar \alpha } \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^k a_k^\alpha (x)$, où $\alpha $ est le multi-indice $(\alpha _1,\dots , \alpha _d)$ tel que $\alpha _1+\cdots + \alpha _d = \bar \alpha \gt 1/2$, convergent en loi vers une loi stable symétrique de paramètre $\beta = 1/\bar \alpha $. Ainsi quand x est uniformément réparti dans [0,1]d, les variables aléatoires (an(x)) sont « presque indépendantes identiquement distribuées » de loi de type de Cauchy.

Abstract:
Let $\displaystyle T : (x_1,\dots ,x_d) \mapsto \bigl ({ x_2 \over x_1} - a_1,\dots ,{x_d\over x_1} - a_{d-1}, {1\over x_1} - a_d\bigr )$ the Jacobi-Perron operator on [0,1]d. We study the asymptotic behaviour of the n-th rest Tn x and of the random variable an(x) generated by the Jacobi-Perron algorithm, when x is uniformly distributed in [0,1]d.

We prove that Tn x converges in law to the unique T-invariant probability $\mu $ which has a density h with respect to Lebesgue measure. The function h is strictly positive and analytic on the sets $
\mathbb {W}
_\sigma = \{0 \leq x_{\sigma (1)} \leq \cdots \leq x_{\sigma (d)}\leq 1\}$, $\sigma $ in $
\mathfrak {G}
_d$.

Then, we prove that the sums $ n^{-\bar \alpha } \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^k a_k^\alpha (x)$, where $\alpha = (\alpha _1,\dots , \alpha _d)$ is a multi-indice such that $\alpha _1+\cdots + \alpha _d = \bar \alpha \gt 1/2$, converge in law to a symmetric stable distribution with parameter $\beta = 1/\bar \alpha $. Thus, when x is uniformly distributed in [0,1]d the random variables (an(x)) are « near » independent with a common distribution of Cauchy law type.

Class. math. : 11 J 70, 58 F 11, 60 F 05


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique