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Bulletin de la SMF - Titles - 122 - pages 333-342

Titles122

Représentations d'un groupe faiblement équivalentes à la représentation régulière
Mohammed Bekka - Pierre de la Harpe
Bulletin de la Société mathématique de France 122, number 3 (1994), 333-342
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Résumé :
Soit $\Gamma $ un réseau dans un groupe de Lie réel connexe G qui est simple, de centre réduit à $\{1\}$, et non compact. Soient $\pi $ une représentation unitaire de G et $\pi _{\vert\Gamma }$ sa restriction à $\Gamma $. Si $\pi $ n'est pas triviale, on montre que $\pi _{\vert\Gamma }$ contient faiblement la représentation régulière $\lambda _{\Gamma }$ de $\Gamma .$ Lorsque $\pi $ est dans la série principale ou dans la série discrète de G, ceci implique que la représentation $\pi _{\vert\Gamma }$ est faiblement équivalente à $\lambda _{\Gamma }.$ Dans le cas où $G = \mathrm {PSL}_2(
\mathbb {R}
)$ et lorsque $\pi $ est dans la série complémentaire, on obtient aussi des résultats sur $\pi _{\vert\Gamma }$.

Mots clefs : représentations unitaires, contenance faible, réseaux, groupes de Lie semi-simples

Abstract:
Let $\Gamma $ be a lattice in a connected real Lie group G which is simple, non compact and with centre reduced to $\{1\}$. Let $\pi $ be a unitary representation of G and let $\pi _{\vert\Gamma }$ be its restriction to $\Gamma $. If $\pi $ is not trivial, we show that $\pi _{\vert\Gamma }$ weakly contains the regular representation $\lambda _{\Gamma }$ of $\Gamma .$ When $\pi $ is in the principal series or the discrete series of G, this implies that $\pi _{\vert\Gamma }$ and $\lambda _{\Gamma }$ are weakly equivalent. In the case $G = \mathrm {PSL}_2(
\mathbb {R}
)$ and when $\pi $ is in the complementary series, we obtain also results on $\pi _{\vert\Gamma }$.

Class. math. : 22 D 10, 22 E 40


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique