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Bulletin de la SMF - Titles - 117 - pages 297-303

Titles117

Conservation de la ramification modérée par la correspondance de Howe
Anne-Marie Aubert
Bulletin de la Société mathématique de France 117, number 3 (1989), 297-303
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Résumé :
La conjecture de Howe a été prouvée pour les paires réductives duales non ramifiées de type I, (cf. [1, chapitre 5]). Pour de telles paires, on étudie la correspondance de Howe pour des représentations modérément ramifiées, i.e. ayant un vecteur non nul invariant par un sous-groupe d'Iwahori, ou plus généralement par un sous-groupe parahorique.

Soit F un corps p-adique $(p\not =2)$ et (U1,U2) une paire réductive duale irréductible non ramifiée de type I sur F. Soit F' égal à F ou à son extension quadratique non ramifiée. On note $\mathcal {O}'$ l'anneau des entiers de F'. Le groupe Ui s'identifie au groupe des isométries d'un espace hermitien Wi sur F'. On considère l'espace symplectique $W=W_1\otimes _{F'}W_2$. Notons $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ le groupe métaplectique, extension par $
\mathbb {C}
^\times $ du groupe symplectique ${\rm Sp}(W)$ et ${\widetilde U}_i$ l'image réciproque de Ui dans $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$. On considère des sous-groupes d'Iwahori I1 and I2 de U1 et U2 respectivement. Réalisons la représentation de Weil du groupe métaplectique $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ dans un modèle S.

Le résultat principal est le suivant : le ${\widetilde U}_2$-module SI1 formé des vecteurs I1-invariants de S est engendré par l'espace des $I_1\times I_2$-invariants. Nous donnons une application de ce résultat à la correspondance de Howe.

Considérons une représentation $(\pi _1,V_1)$ de ${\widetilde U_1}$ lisse irréductible telle que $V^{I_1}_1\not =\{0\}$, où I1 est un sous-groupe d'Iwahori de U1. Soit $(\pi _2,V_2)$ l'image de $(\pi _1,V_1)$ par la correspondance de Howe. Alors $V^{I_2}_2\not =\{0\}$, pour un certain sous-groupe d'Iwahori I2 de U2.

Abstract:
The Howe conjecture has been proven for unramified irreducible reductive dual pairs of type I. We study the Howe correspondence for such pairs for tamely ramified representations, i.e. representations which admit a fixed vector by an Iwahori subgroup.

Let F be a p-adic field $(p\not =2)$ and let (U1,U2) be an unramified irreducible reductive dual pair of type I over F. Let F' be either F or its unramified quadratic extension. We denote by $\mathcal {O}'$ the ring of integers of F'. There is a natural identification of Ui with the isometry group of an hermitian space Wi over F'. Consider the symplectic space $W=W_1\otimes _{F'}W_2$. We denote by $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ the metaplectic group, extension by $
\mathbb {C}
^\times $ of the symplectic group ${\rm Sp}(W)$ and by ${\widetilde U}_i$ the inverse image of Ui in $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$. Consider some Iwahori subgroups I1 and I2 of U1 and U2 respectively. We realize the Weil representation of the metaplectic group $\widetilde {\mathrm {Sp}}(W)$ in a model S.

The main result is : The ${\widetilde U}_2$-module SI1 consisting of the I1-fixed vectors in S is generated by the space of $I_1\times I_2$-invariants. We give an application of that result to the Howe correspondence.

Consider an irreducible smooth representation $(\pi _1,V_1)$ of ${\widetilde U_1}$ with $V^{I_1}_1\not =\{0\}$, where I1 is an Iwahori subgroup of U1. Let $(\pi _2,V_2)$ be the image of $(\pi _1,V_1)$ in the Howe correspondence. Then $V^{I_2}_2\not =\{0\}$, for some Iwahori subgroup I2 of U2.


ISSN : 0037-9484
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique