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Astérisque - Titles - 372 (2015)

Titles < 2015

Rigidity of High Dimensional Graph Manifolds
Roberto Frigerio,Jean-François Lafont, Alessandro Sisto
Astérisque 372 (2015), xxi+177 pages
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Résumé :
Rigidité des variétés graphées de grande dimension
Ce texte est consacré à la définition et à l'étude systématique des variétés graphées de grande dimension. Celles-ci sont des variétés lisses, ayant une décomposition en un nombre fini de morceaux géométriques. Chaque morceau est difféomorphe au produit d'un tore et d'une variété hyperbolique de volume fini dont tous les bouts sont des tores. Les morceaux sont recollés par des applications affines des tores qui en sont les bords. Nous exigeons que le facteur hyperbolique dans chaque morceau soit de dimension 3. Notre but principal est d'établir divers résultats de rigidité pour cette classe de variétés graphées. Nous démontrons, en dimension 6, la conjecture de Borel pour les variétés graphées : une variété quelconque est homotopiquement équivalente à une variété graphée si et seulement si elle est homéomorphe à cette même variété graphée. Nous établissons la rigidité lisse pour la classe des variétés graphées : deux variétés graphées sont homotopiquement équivalentes si et seulement si elles sont difféomorphes. Du point de vue de la géométrie à grande échelle, la distorsion des groupes fondamentaux des morceaux dans le groupe fondamental de la variété graphée joue un rôle essentiel. Nous introduisons la notion de variété graphée irréductible. Elles forment une sous-classe pour laquelle ces sous-groupes sont toujours non-distordus. Ceci nous permet d'analyser la structure des groupes quasi-isométriques au groupe fondamental d'une variété graphée irréductible: un tel groupe a (virtuellement) une action sur un arbre, avec de fortes contraintes sur les stabilisateurs de sommets et d'arêtes. Cette analyse comprend, entre autre, une classification des groupes quasi-isométriques au produit d'un groupe abélien libre et d'un réseau non-uniforme dans SO(n,1). Nous présentons plusieurs exemples de variétés graphées qui n'admettent aucune métrique localement CAT(0). Certains de nos résultats s'appliquent aussi bien en présence de morceaux ayant commes facteurs des surfaces hyperboliques. Nous précisons que, en dimension trois, notre notion de variété graphée ne coïncide pas avec la notion classique de variété graphée. Nos variétés forment une classe comprenant certaines des variétés graphées classiques (mais pas toutes: nous excluons certaines sous-variétés de Seifert), ainsi que des variétés que ne sont pas des variétés graphées classiques (nous admettons des morceaux purement hyperboliques).

Abstract:
We define the class of high dimensional graph manifolds. These are compact smooth manifolds supporting a decomposition into finitely many pieces, each of which is diffeomorphic to the product of a torus with a finite volume hyperbolic manifold with toric cusps. The various pieces are attached together via affine maps of the boundary tori. We require all the hyperbolic factors in the pieces to have dimension 3. Our main goal is to study this class of graph manifolds from the viewpoint of rigidity theory. We show that, in dimensions 6, the Borel conjecture holds for our graph manifolds. We also show that smooth rigidity holds within the class: two graph manifolds are homotopy equivalent if and only if they are diffeomorphic. We introduce the notion of irreducible graph manifolds. These form a subclass which has better coarse geometric properties, in that various subgroups can be shown to be quasi-isometrically embedded inside the fundamental group. We establish some structure theory for finitely generated groups which are quasi-isometric to the fundamental group of an irreducible graph manifold: any such group has a graph of groups splitting with strong constraints on the edge and vertex groups. Along the way, we classify groups which are quasi-isometric to the product of a free abelian group and a non-uniform lattice in SO(n,1). We provide various examples of graph manifolds which do not support any locally CAT(0) metric. Several of our results can be extended to allow pieces with hyperbolic surface factors. We emphasize that, in dimension =3, our notion of graph manifold does not coincide with the classical graph manifolds. Rather, it is a class of 3-manifolds that contains some (but not all) classical graph 3-manifolds (we don't allow general Seifert fibered pieces), as well as some non-graph 3-manifolds (we do allow hyperbolic pieces).

Keywords: Quasi-isometry, quasi-action, graph of groups, CAT(0) space, Borel conjecture, smooth rigidity, Baum-Connes conjecture, asymptotic cone, mapping class group, Kazhdan’s property (T), Tits’ alternative, co-Hopf property, C∗-simplicity, SQ-universality.

Class. math. : 53C24, 20F65; Secondary:53C23, 20E08, 20F67, 20F69, 19D35.


ISBN : 978-2-85629-809-1
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique