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Astérisque - Titles - 2005 - 304 < Titles < 2005

Random Surfaces
Scott Sheffield
Astérisque 304 (2005), vi+175 pages
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Résumé :
Surfaces aléatoires
Nous étudions les propriétés à grande échelle de ``surfaces aléatoires'' qui sont ici des applications aléatoires de $\mathbb Z^d$ (ou de grandes parties de $\mathbb Z^d$) à valeurs dans un ensemble E qui est égal à $\mathbb R$ ou $\mathbb Z$. Leur loi est donnée via un potentiel Gibbsien qui est une fonction convexe des gradients discrets (locaux) de la fonction, et qui est supposé invariant par rapport aux translations d'un véritable sous-réseau $\mathcal L$ de $\mathbb Z^d$. Ceci inclut beaucoup de modèles dits de hauteurs (pavages par dominos, glace carrée, le cristal harmonique, le modèle de Ginzburg-Landau $\nabla \phi$, le modèle SOS linéaire).

Nous établissons un principe variationnel qui caractérise les mesures de Gibbs d'une pente donnée comme minimiseurs de l'énergie libre spécifique, et un principe de grande déviations pour la mesure empirique pour les surfaces aléatoires sur des approximations par un réseau de domaines bornés. Nous montrons également que la tension de surface est strictement convexe et que lorsque la pente u définit une tension de surface finie, alors il existe une unique mesure de Gibbs $\mu _u$ de pente u ergodique par rapport à $\mathbb L$ et d'énergie minimale.

En utilisant une nouvelle idée géométrique de changement de clusters (qui est une variante de l'algorithme de Swendsen-Wang pour les modèles de percolation de Fortuin et Kasteleyn), nous montrons que la mesure $\mu _u$ est unique dès lors que l'une des conditions suivantes est vérifiée: $E = \mathbb R$, $d = \{1,2\}$, il existe une mesure de Gibbs ``irrégulière'' de pente u, ou u est irrationnel.

Lorsque d=2 et $E= \mathbb Z$, nous montrons que les pentes de toute mesure lisse (les faces du cristal) sont dans le réseau dual à $\mathcal L$. Lorsque d=2 et $E= \mathbb Z$, nos résultats résolvent des conjectures de Cohn, Elkies et Propp; nous montrons par exemple qu'il existe une seule mesure de Gibbs ergodique sur les pavages par dominos pour chaque pente non-extrémale. Nous établissons aussi des résultats utilisés par Kenyon, Okounkov et Sheffield pour résoudre de manière exacte le modèle de dimères sur des réseaux plans généraux. Lorsque $E = \mathbb R$, nos résultats généralisent nombre de résultats sur les modèles d'interfaces $\nabla \phi$ de Ginzburg-Landau.

Mots clefs : Mesure de Gibbs, surface aléatoire, fonction de hauteur, localisation, face de cristal, transition de phase, principe variationnel, dimère, Ginzburg-Landau, ferromagnétisme, tension de surface, énergie libre spécifique, cristal de Wulff

Abstract:
We study the statistical physical properties of (discretized) ``random surfaces,'' which are random functions from $\mathbb Z^d$ (or large subsets of $\mathbb Z^d$) to E, where E is $\mathbb Z$ or $\mathbb R$. Their laws are determined by convex, nearest-neighbor, gradient Gibbs potentials that are invariant under translation by a full-rank sublattice $\mathcal L$ of $\mathbb Z^d$; they include many discrete and continuous height function models (domino tilings, square ice, the harmonic crystal, the Ginzburg-Landau $\nabla \phi$ interface model, the linear solid-on-solid model) as special cases.

We prove a variational principle - characterizing gradient phases of a given slope as minimizers of the specific free energy - and an empirical measure large deviations principle (with a unique rate function minimizer) for random surfaces on mesh approximations of bounded domains. We also prove that the surface tension is strictly convex and that if u is in the interior of the space of finite-surface-tension slopes, then there exists a minimal energy gradient phase $\mu _u$ of slope u.

Using a new geometric technique called cluster swapping (a variant of the Swendsen-Wang update for Fortuin-Kasteleyn clusters), we show that $\mu _u$ is unique if at least one of the following holds: $E = \mathbb R$, $d \in \{1, 2 \}$, there exists a rough gradient phase of slope u, or u is irrational. When d=2 and $E= \mathbb Z$, we show that the slopes of all smooth phases (a.k.a. crystal facets) lie in the dual lattice of $\mathcal L$.

In the case $E= \mathbb Z$ and d=2, our results resolve and greatly generalize a number of conjectures of Cohn, Elkies, and Propp - one of which is that there is a unique ergodic Gibbs measure on domino tilings for each non-extremal slope. We also prove several theorems cited by Kenyon, Okounkov, and Sheffield in their recent exact solution of the dimer model on general planar lattices. In the case $E = \mathbb R$, our results generalize and extend many of the results in the literature on Ginzurg-Landau $\nabla \phi$-interface models.

Key words: Gibbs measure, gradient Gibbs measure, random surface, height function, solid-on-solid, localization, crystal facet, rough phase, smooth phase, variational principle, dimer, square ice, Ginzburg-Landau, ferromagnetic, nearest neighbor potential, surface shape, surface tension, specific free energy, Wulff crystal, cluster swapping

Class. math. : 60D05, 60F10, 60G60

ISBN : 978-2-85629-187-0
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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