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Astérisque

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Astérisque - Titles - 2004 - 295 - pages 117-290

Titles2004295

Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques (III)
Pierre Berthelot - Jean-Marc Fontaine - Luc Illusie - Kazuya Kato - Michael Rapoport (Éd.)
Astérisque 295 (2004), xiv+300 pages
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p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms
Kazuya Kato
Astérisque 295 (2004), 117-290

Résumé :
Théorie de Hodge p-adique et fonctions zeta de formes modulaires
Si f est une forme modulaire, nous construisons un système d'Euler attaché à f, ce qui nous permet d'obtenir des bornes pour les groupes de Selmer de f. Une loi de réciprocité explicite permet de relier ce système d'Euler à la fonction zêta p-adique de f, ce qui nous permet d'obtenir un résultat de divisibilité en direction de la conjecture principale pour f ainsi que des minorations pour l'ordre d'annulation de cette fonction zêta p-adique. Dans le cas particulier où f est attachée à une courbe elliptique E définie sur $
\mathbb {Q}
$, nous prouvons que la fonction zêta p-adique de E a un zéro en s=1 d'ordre supérieur ou égal au rang du groupe des points rationnels de E.

Mots clefs : Forme modulaire, système d'Euler, groupe de Selmer, loi de réciprocité, fonction zêta p-adique, courbe elliptique

Abstract:
If f is a modular form, we construct an Euler system attached to f from which we deduce bounds for the Selmer groups of f. An explicit reciprocity law links this Euler system to the p-adic zeta function of f which allows us to prove a divisibility statement towards Iwasawa's main conjecture for f and to obtain lower bounds for the order of vanishing of this p-adic zeta function. In particular, if f is associated to an elliptic curve E defined over $
\mathbb {Q}
$, we prove that the p-adic zeta function of f has a zero at s=1 of order at least the rank of the group of rational points on E.

Key words: Modular form, Euler system, Selmer group, reciprocity law, p-adic zeta function, elliptic curve

Class. math. : 11F11, 11F67, 11F80, 11F85, 11G05, 11G16, 11G40, 11R33, 11R39, 11R56, 11S80, 11S99, 14F30, 14F42, 14G10, 14G35, 14G40


ISBN : 2-85629-158-9
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique