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Astérisque - Titles - 1999 - 258 - pages 35-76 < Titles < 1999 < 258

Structure Theory of Set Addition
Jean-Marc Deshouillers, Bernard Landreau, Alexander A. Yudin (Ed.)
Astérisque 258 (1999), 458 pages
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Sets of integers with large trigonometric sums
Amnon Besser
Astérisque 258 (1999), 35-76

Résumé :
Nous cherchons à optimiser, pour un entier k et un réel u fixés, sur tous les ensembles $K= \{ a_1 < a_2 < \cdots < a_k \}\subset \mathbb {Z}$, la mesure de l'ensemble des $\alpha \in [0,1]$ tels que la valeur absolue de la somme trigonométrique $S_K ( \alpha ) = \sum _{j=1}^k e^{2 \pi i \alpha a_j }$ soit supérieure à k-u. Lorsque u est suffisamment petit par rapport à k, nous sommes en mesure de construire un ensemble K_ex qui est presque optimal. Cet ensemble est une union finie de progressions arithmétiques. Nous montrons que tout ensemble plus performant, s'il existe, a une structure similaire à celle de K_ex. On obtient également des bornes inférieures et supérieures précises pour la mesure maximale.

Abstract:
We investigate the problem of optimizing, for a fixed integer k and real u and on all sets $K= \{ a_1 < a_2 < \cdots < a_k \}\subset \mathbb {Z}$, the measure of the set of $\alpha \in [0,1]$ where the absolute value of the trigonometric sum $S_K ( \alpha ) = \sum _{j=1}^k e^{2 \pi i \alpha a_j }$ is greater than k-u. When u is sufficiently small with respect to k we are able to construct a set K_ex which is very close to optimal. This set is a union of a finite number of arithmetic progressions. We are able to show that any better set, if such as one exists, has a structure similar to that of K_ex. We also get tight upper and lower bounds on the maximal measure.

Key words: Trigonometric sums

Class. math. : Primary 11L03; Secondary 42A05.

ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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