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Astérisque

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Astérisque - Titles - 1996 - 240

Titles1996

Semi-linear Diffraction of conormalwawes
Richard B. MELROSE, Antônio SÁ BARRETO, Maciej ZWORSKI
Astérisque 240 (1996), 132 pages
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Résumé :
Nous étudions la régularité conormale de solutions bornées d'équations semi-linéaires strictement hyperboliques dans des domaines à bord diffractif:

\begin{displaymath}
Pu = f(x,u){\rm dans }X ,\ u\! \upharpoonright _{\partial X} = 0 , \ u \in L^\infty _{\operatorname {loc}}(X).\end{displaymath}

Si $X_-\subset X$ et X est le domaine d'influence de X-, nous considérons des solutions u telles que $\operatorname {\rm sing supp}(u)\cap X_- \cap \partial X = \emptyset $ ; de plus nous supposons que $u\upharpoonright _{X_-}$ est conormale par rapport à une hypersurface caractéristique lisse, le front entrant.

Dans le cas de l'équation linéaire $f\cong 0,$ le support singulier de u est contenu dans la réunion du front entrant et du front réfléchi obtenu par les lois de l'optique géométrique. Ces deux surfaces caractéristiques sont tangentes à l'ensemble des rayons rasants, le lieu des points où les bicaractéristiques entrantes sont tangentes au bord. Dans le cas semi-linéaire, nous démontrons que si de nouvelles singularités apparaissent alors elles apparaissent sur le demi-cône caractéristique au-dessus de l'ensemble des rayons rasants. En fait, le théorème de régularité conormale établi dans cet article est beaucoup plus précis.

Pour illustrer notre propos, nous choisirons pour P l'opérateur des ondes à coefficients constants et pour X le produit de ${
\mathbb 
R}_t$ et de l'extérieur d'un obstacle strictement convexe. Alors $X_-= X \cap \{t< - T\}$. Comme donnée initiale, on pourra prendre une primitive locale de l'onde plane $\delta ( t - \langle x ,\omega \rangle )$ avec T suffisamment grand. La géométrie de ce problème est figurée sur les schémas 1.1 et 1.2.

Abstract:
We study the conormal regularity of bounded solutions to semi-linear strictly hyperbolic equations on domains with diffractive boundaries:

\begin{displaymath}
Pu = f(x,u){\rm in }X ,\ u\! \upharpoonright _{\partial X} = 0 , \ u \in L^\infty _{\operatorname {loc}}(X).\end{displaymath}

If $X_-\subset X$ and X is the domain of influence of X- we consider solutions such that $\operatorname {\rm sing supp}(u)\cap X_- \cap \partial X = \emptyset $ and further suppose that $ u\!\upharpoonright _{X_-}$ is conormal with respect to a smooth characteristic hypersurface, the incoming front.

For the linear equation, $f\cong 0,$ the singular support of u is contained in the incoming front and the reflected front obtained using the rules of geometrical optics; these two characteristic surfaces are tangent at the glancing set, the locus of points at which the incoming bicharactersitics are tangent to the boundary. We prove that in the semi-linear case the only new singularites which may occur appear on the characteristic half-cone over the glancing set. The actual conormal regularity result presented in the paper is considerably more precise. Our assumptions are best illustrated by taking for P the constant coefficient wave equation with X the product of ${
\mathbb 
R}_t$ and the exterior of a strictly convex obstacle. Then $X_-= X \cap \{t< - T\}$ and for the initial data one can take locally an anti-derivative of the plane wave $\delta ( t - \langle x ,\omega \rangle )$ with T appropriately large. The geometry of this problem in two space dimensions is shown in Figures 1.1 and 1.2.


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique