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Annales scientifiques de l'ENS - Titles - série 4, 50 (2017)

Titles < série 4, 50

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 50, fascicule 2 (2017)

Pierre Berger, Romain Dujardin
On stability and hyperbolicity for polynomial automorphisms of C^2
Annales scientifiques de l'ENS 50, fascicule 2 (2017), 449-477

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Résumé :
Stabilité et hyperbolicité pour les automorphismes polynomiaux de C^2
Soit (f_)_ une famille holomorphe d'automorphismes polynomiaux de C^2. En accord avec un travail précédent de Dujardin et Lyubich, nous disons qu'une telle famille est faiblement stable si ses points périodiques ne bifurquent pas. La question est ouverte de savoir si cette notion équivaut à celle de stabilité structurelle sur l'ensemble de Julia J^* (qui est par définition l'adhérence de l'ensemble des points périodiques selles). Dans cet article nous introduisons une notion de point régulier pour un tel automorphisme, inspirée par la théorie de Pesin, et montrons que dans une famille faiblement stable, l'ensemble des points réguliers se déplace selon un mouvement holomorphe. Nous en déduisons qu'une famille faiblement stable est structurellement stable en un sens probabiliste. Une autre conséquence de cette étude est que la stabilité faible préserve l'hyperbolicité uniforme sur J^*.

Mots-clefs : Polynomial automorphisms of C^2, holomorphic motions, structural stability, weak stability, uniform and non-uniform hyperbolicity.

Abstract:
Let (f_)_ be a holomorphic family of polynomial automorphisms of C^2. Following previous work of Dujardin and Lyubich, we say that such a family is weakly stable if saddle periodic orbits do not bifurcate. It is an open question whether this property is equivalent to structural stability on the Julia set J^* (that is, the closure of the set of saddle periodic points). In this paper we introduce a notion of regular point for a polynomial automorphism, inspired by Pesin theory, and prove that in a weakly stable family, the set of regular points moves holomorphically. It follows that a weakly stable family is probabilistically structurally stable, in a very strong sense. Another consequence of these techniques is that weak stability preserves uniform hyperbolicity on J^*.

Keywords: Automorphismes polynomiaux de C^2, mouvements holomorphes, stabilité structurelle, stabilité faible, hyperbolicité uniforme et non uniforme.

Class. math. : 37F15, 37F45, 37F10


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Ahlfors, Lars V.
Conformal invariants: topics in geometric function theory
McGraw-Hill Book Co., New York-Düsseldorf-Johannesburg, 1973
Math Reviews MR0357743
2
Benedicks, Michael and Carleson, Lennart
The dynamics of the Hénon map
Ann. of Math. 133 (1991) 73–169
Math Reviews MR1087346
3
Bedford, Eric and Smillie, John
Polynomial diffeomorphisms of <b>C</b>2: currents, equilibrium measure and hyperbolicity
Invent. math. 103 (1991) 69–99
Math Reviews MR1079840
4
Bedford, Eric and Smillie, John
Polynomial diffeomorphisms of C2. III. Ergodicity, exponents and entropy of the equilibrium measure
Math. Ann. 294 (1992) 395–420
Math Reviews MR1188127
5
Bedford, Eric and Lyubich, Mikhail and Smillie, John
Polynomial diffeomorphisms of <b>C</b>2. IV. The measure of maximal entropy and laminar currents
Invent. math. 112 (1993) 77–125
Math Reviews MR1207478
6
Bedford, Eric and Smillie, John
Polynomial diffeomorphisms of C2. VIII. Quasi-expansion
Amer. J. Math. 124 (2002) 221–271
Math Reviews MR1890993
7
Bers, Lipman and Royden, H. L.
Holomorphic families of injections
Acta Math. 157 (1986) 259–286
Math Reviews MR857675
8
De Carvalho, A. and Lyubich, Mikhail and Martens, M.
Renormalization in the Hénon family. I. Universality but non-rigidity
J. Stat. Phys. 121 (2005) 611–669
Math Reviews MR2192529
9
Chirka, E. M.
Complex analytic sets
Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989
Math Reviews MR1111477
10
Dujardin, Romain and Lyubich, Mikhail
Stability and bifurcations for dissipative polynomial automorphisms of C2
Invent. math. 200 (2015) 439–511
Math Reviews MR3338008
11
Friedland, Shmuel and Milnor, John
Dynamical properties of plane polynomial automorphisms
Ergodic Theory Dynam. Systems 9 (1989) 67–99
Math Reviews MR991490
12
Fornæss, John Erik and Sibony, Nessim
Complex Hénon mappings in <b>C</b>2 and Fatou-Bieberbach domains
Duke Math. J. 65 (1992) 345–380
Math Reviews MR1150591
13
Hörmander, Lars
Notions of convexity
Birkhäuser, 1994
Math Reviews MR1301332
14
Katok, A.
Lyapunov exponents, entropy and periodic orbits for diffeomorphisms
Publ. Math. IHÉS 51 (1980) 137–173
Math Reviews MR573822
15
Lyubich, Mikhail
Some typical properties of the dynamics of rational mappings
Uspekhi Mat. Nauk 38 (1983) 197–198
Math Reviews MR718838
16
Lyubich, Mikhail
Investigation of the stability of the dynamics of rational functions
Teor. FunktsiFunktsional. Anal. i Prilozhen. 42 (1984) 72–91
Math Reviews MR751394
17
Lyubich, Mikhail and Peters, Han
Classification of invariant Fatou components for dissipative Hénon maps
Geom. Funct. Anal. 24 (2014) 887–915
Math Reviews MR3213832
18
Mañé, R. and Sad, P. and Sullivan, D.
On the dynamics of rational maps
Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. 16 (1983) 193–217
Math Reviews MR732343
19
Milnor, John
Singular points of complex hypersurfaces
Princeton Univ. Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1968
Math Reviews MR0239612
20
Wang, Qiudong and Young, Lai-Sang
Strange attractors with one direction of instability
Comm. Math. Phys. 218 (2001) 1–97
Math Reviews MR1824198