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SMF/AMS Texts and Monographs - Parutions - 14 (2007)

Parutions

An Initiation to Logarithmic Sobolev Inequalities
Publié en français dans le numéro 5 (1999) de la série Cours Spécialisés
Gilles Royer
Société Mathématique de France et American Mathematical Society
SMF/AMS Texts and Monographs 14 (2007), viii + 115 pages
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Résumé :
Une initiation aux inégalités de Sobolev logarithmiques
Le but de ce cours est d'illustrer l'usage des inégalités de Sobolev logarithmiques en les appliquant à l'ergodicité des systèmes de spins en faible interaction. Ce modèle a été inspiré par les modèles bien moins simples de la théorie des champs pour lesquels E. Nelson a introduit les propriétés d'hypercontractivité qui ont été développées par L. Gross à l'aide de la notion d'inégalité de Sobolev logarithmique. La considération de systèmes de spins réels conduit à des difficultés techniques supplémentaires par rapport au cas des spins bornés, mais permet souvent d'utiliser des outils mathématiques plus familiers et plus variés. On n'aborde qu'un aspect limité du vaste domaine des mesures de Gibbs, bien qu'il soit un important développement, dû à B. Zegarlinski, d'une des idées fondamentales de R.L. Dobrushin. En chemin, on introduit la plupart des notions de base qui seront utiles sur les opérateurs autoadjoints, les processus de diffusions, les mesures de Gibbs. Des compléments et des exercices permettent d'élargir le domaine traité.

Abstract:
This book provides an introduction to logarithmic Sobolev inequalities with some important applications to mathematical statistical physics.. Royer begins by gathering and reviewing the necessary background material on selfadjoint operators, semigroups, Kolmogorov diffusion processes, solutions os stochastic differential equations, and certain other related topics. There then is a chapter on log Sobolev inequalities with an application to a strong ergodicity theorem for Kolmogorov diffusion processes. The remaining two chapters consider the general setting for Gibbs measures including existence and uniqueness issues, the Ising model with real spins and the application of Iog Sobolev inequalities to show the stabilization of the Glauber-Langevin dynamic stochastic models for the Ising model with real spins. The exercises and complements extend the material in the main text to related areas such as Markov chains.

Keywords: Ergodic theory, logarithmic functions, semigroups of operators, Differential inequalities

Class. math. : 35J85, 47B25, 47D07, 60J60, 82C99


ISSN : 1525-2302