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SMF/AMS Texts and Monographs - Parutions - 13 (2006)

Parutions

Asymptotically Symmetric Einstein Metrics
Publié en français dans le numéro 265 (2000) de la série Astérisque
Olivier Biquard
Société Mathématique de France et American Mathematical Society
SMF/AMS Texts and Monographs 13 (2006), vi + 105 pages
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Résumé :
Métriques d'Einstein asymptotiquement symétriques
Cet article étudie les métriques d'Einstein asymptotiquement symétriques, ce qui signifie que leur courbure à l'infini est asymptotique à la courbure d'un espace symétrique de rang 1 de type non compact (c'est-à-dire d'un espace hyperbolique). Deux constructions de telles métriques d'Einstein sont réalisées. La première passe par l'analyse et met en correspondance les déformations d'Einstein des espaces hyperboliques complexe, quaternionien et octonionien, avec certaines métriques de Carnot-Carathéodory sur le bord à l'infini. Dans les cas quaternionien et octonionien, on obtient à l'infini des objets que j'appelle des structures de contact quaternioniennes (ou octonioniennes). La seconde construction est au contraire twistorielle : partant d'une structure de contact quaternionienne, analytique réelle, on montre qu'elle est le bord à l'infini d'une unique métrique quaternion-kählérienne (qui est en particulier d'Einstein), définie dans un voisinage de l'infini. La géométrie des structures de contact quaternioniennes est ainsi assez bien comprise, alors que les structures de contact octonioniennes restent un objet très mystérieux.

Abstract:
The correspondence between Einstein metrics and their conformal boundaries has recently been the focus of great interest. This is particularly so in vie of the relation with the physical theory of the AdS/CFT correspondenceIn this book, this correspondence is seen in the wider context of asymptotically symmetric Einstein metrics, that is Einstein metrics whose curvature is asymptotic to that of a rank one symmetric space. There is an emphasis on the correspondence between Einstein metrics and geometric structures on their boundary at infinity: conformal structures, CR structures, and quaternionic contact structures introduced and studied in the book.Two new constructions of such Einstein metrics are given, using two different kinds of techniques: analytic methods to construct complete Einstein metrics, with a unified treatment of all rank one symmetric spaces, relying on harmonic analysis; algebraic methods (twistor theory) to construct local solutions of the Einstein equation near the boundary..

Keywords: Einstein metrics, rank one symmetric spaces, Hölder weighted spaces, contact structures, quaternionic-Kähler metrics, twistor spaces

Class. math. : 53C25, 58G30, 53C15, 32L25


ISBN : 978-0-8218-3166-3
ISSN : 1525-2302