Séminaires et Congrès - Parutions - 26 (2011) 35-60 < Parutions < 26

Operads 2009
Loday, Jean-Louis and Vallette, Bruno
Séminaires et Congrès 26 (2011), 281 pages
Présentation, Sommaire

Categorification of the dendriform operad
Frédéric Chapoton
Séminaires et Congrès 26 (2011), 35-60
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Résumé :
Catégorification de l'opérade dendriforme
L'idée de catégorification d'une structure algébrique a déjà été appliquée avec succès par de nombreux auteurs à des algèbres associatives ou des algèbres de Hopf. On se propose ici de l'appliquer à une structure algébrique plus complexe, celle d'opérade. On tente plus spécifiquement de catégorifier l'opérade dendriforme introduite par Loday. Les groupes abéliens sous-jacents à l'opérade dendriforme sont catégorifiés par les catégories abéliennes de modules sur les algèbres d'incidence de certains ensembles partiellement ordonnés, les posets de Tamari. Les applications linéaires qui forment la structure d'opérade doivent être catégorifiées par des foncteurs entre ces catégories abéliennes. On franchit ici un première étape dans cette direction, en décrivant un foncteur qui catégorifie la première application de composition de l'opérade dendriforme. On obtient aussi des foncteurs qui catégorifient les autres applications de composition, mais seulement au prix d'un passage, sans doute superflu, aux catégories dérivées des catégories de modules.

Mots-clefs : opérade, algèbre dendriforme, treillis de Tamari, catégorification

Abstract:
The idea of ``categorification'' of an algebraic structure has already been applied successfully by many authors to algebras or Hopf algebras. We propose here to apply this idea to the more sophisticated algebraic notion of operad: we try to categorify the dendriform operad, which was introduced by Loday. The underlying Abelian groups of the dendriform operad are categorified by the Abelian categories of modules over the incidence algebras of some posets, usually called the Tamari posets. The linear maps that make the structure of the dendriform operad should then be categorified by functors between these Abelian categories. We make here a first step in this direction by describing a functor that categorifies the first composition map of the dendriform operad. We also obtain functors that categorify the other composition maps of the dendriform operad, but only at the prize of passing to the derived categories of the categories of modules, which is probably avoidable.

Keywords: operad, dendriform algebra, Tamari lattice, categorification

Class. math. : MSC2000 :18D50, 05C05, 06A11, 16G20

Bibliographie:

4

Chapoton, F.

On some anticyclic operads

Algebr. Geom. Topol. 5 (2005) 53–69

Math Reviews MR2135545

5

Araya, T.

Exceptional Sequences over path algebras of type and Non-crossing Spanning Trees

(2009) preprint arXiv:0904.2831

6

Loday, Jean-Louis

Arithmetree

J. Algebra 258 (2002) 275–309 Special issue in celebration of Claudio Procesi's 60th birthday

Math Reviews MR1958907

7

Auslander, Maurice and Reiten, Idun and Smalø, Sverre O.

Representation theory of Artin algebras

Cambridge Univ. Press, 1995

Math Reviews MR1314422

8

Aval, J.-C. and Viennot, X.

The product of trees in the Loday-Ronco algebra through Catalan alternative tableaux

(2009) preprint arXiv:0912.0798

9

Chapoton, F.

On the Coxeter transformations for Tamari posets

Canad. Math. Bull. 50 (2007) 182–190

Math Reviews MR2317440

10

Chapoton, F.

The categorified Diassociative cooperad

Bulletin de la société belge de mathématique - Simon Stewin (2010) à paratre

11

Huang, S. and Tamari, D.

Problems of associativity: A simple proof for the lattice property of systems ordered by a semi-associative law

J. Combinatorial Theory Ser. A 13 (1972) 7–13

Math Reviews MR0306064

12

Flajolet, Philippe and Noy, Marc

Analytic combinatorics of non-crossing configurations

Discrete Math. 204 (1999) 203–229

Math Reviews MR1691870

13

Chapoton, F.

Sur le nombre d'intervalles dans les treillis de Tamari

Sém. Lothar. Combin. 55 (2005/07) Art. B55f, 18 pp.

Math Reviews MR2264942

14

Ladkani, Sefi

On derived equivalences of categories of sheaves over finite posets

J. Pure Appl. Algebra 212 (2008) 435–451

Math Reviews MR2357344

15

Loday, Jean-Louis

Realization of the Stasheff polytope

Arch. Math. (Basel) 83 (2004) 267–278

Math Reviews MR2108555

16

Loday, Jean-Louis

Algèbres ayant deux opérations associatives (digèbres)

C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 321 (1995) 141–146

Math Reviews MR1345436

17

Loday, Jean-Louis

Dialgebras

in Dialgebras and related operads

Lecture Notes in Math. 1763 (2001) 7–66

Math Reviews MR1860994

18

Loday, Jean-Louis and Ronco, M. O.

Order structure on the algebra of permutations and of planar binary trees

J. Algebraic Combin. 15 (2002) 253–270

Math Reviews MR1900627

19

Chapoton, F.

The anticyclic operad of moulds

Int. Math. Res. Not. 2007 (2007) Art. ID rnm078, 36

Math Reviews MR2363304

21

Viennot, X.

Catalan tableaux and the asymmetric exclusion process

in Proc. FPSAC 07 (Formal Power Series and Algebraic Combinatorics), Tienjin, Chine

(2007) ArXiv: math-CO/0905.3081

22

Duchamp, Gérard and Hivert, Florent and Thibon, Jean-Yves

Noncommutative symmetric functions. VI. Free quasi-symmetric functions and related algebras

Internat. J. Algebra Comput. 12 (2002) 671–717

Math Reviews MR1935570

23

Joyal, André

Foncteurs analytiques et espèces de structures

in Combinatoire énumérative (Montreal, Que., 1985/Quebec, Que., 1985)

Lecture Notes in Math. 1234 (1986) 126–159

Math Reviews MR927763

24

Hernandez, David and Leclerc, Bernard

Cluster algebras and quantum affine algebras

(2009) preprint arXiv:0903.1452

25

Khovanov, Mikhail

A categorification of the Jones polynomial

Duke Math. J. 101 (2000) 359–426

Math Reviews MR1740682

26

Krob, Daniel and Thibon, Jean-Yves

Noncommutative symmetric functions. IV. Quantum linear groups and Hecke algebras at

J. Algebraic Combin. 6 (1997) 339–376

Math Reviews MR1471894

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