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Séminaires et Congrès - Parutions - 21 (2011)

Parutions < 21

Arithmetics, Geometry and Code theory (AGCT 2005)
François Rodier, Serge Vladut
Séminaires et Congrès 21 (2011)
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Sommaire

Résumé :
Arithmétique, Géométrie et Théorie des codes (AGCT 2005)
Le colloque Arithmétique, Géométrie, et Théorie des codes s'est tenu à Marseille, au Centre International de Rencontres Mathématiques de Luminy du 26 au 30 septembre 2005. Son thème était l'interaction entre la théorie des nombres et la géométrie algébrique d'une part, la théorie du codage et la cryptographie d'autre part. Les sujets abordés sont les courbes admettant comme revêtement la courbe hermitienne, les tours de corps appliquées à la complexité bilinéaire de la multiplication dans les corps finis, les codes sur des variétés diverses, l'estimation du nombre de Picard des surfaces par la cohomologie p-adique, l'étude de la distance minimale des codes sur les surfaces, la constante d'Euler-Kronecker sur des corps globaux. La cryptographie à clé publique a donné lieu à des exposés sur les courbes et leur jacobiennes: jacobiennes des courbes C_ab, un algorithme fondé sur le théorème chinois pour construire des courbes de genre 2 sur des corps finis, les jacobiennes hyperelliptiques et les représentations de Steinberg. D'autres exposés sont consacrés aux relations entre le polynôme énumérateur des poids d'un code et les formes modulaires et à une construction similaire à celle des réseaux à partir des codes binaires pour construire des codes convolutionnels à partir de codes en blocs.

Mots-clefs : Addition de diviseurs, algorithmes de réduction, anneaux d'endomorphismes, arithmétique des corps globaux, borne de Gilbert Varshamov, borne de Hasse-Weil, codes algébriques géométriques, codes convolutionels, codes correcteur d'erreurs, codes de Grassmann, codes géometrique, cohomologie de de Rham, cohomologie p-adique, corps cyclotomique, corps totalement réel, courbes, courbes sur les corps finis, courbe hermitienne, courbe maximale, cycles de Schubert, complexité bilinéaire, corps de fonctions algébrique, corps fini, courbes C_ab, courbes de genre 2, descente des corps de fonctions, endomorphismes de variétés abéliennes, espace invariant, fibrés projectifs, fibrés vectoriels stables, fonctions zêta, forme modulaire de Hilbert, forme modulaire de Jacobi, groupe de Clifford-Weil, intersections dans l'espace projectif, Jacobiennes, Jacobiennes hyperelliptiques, multiplication complexe, nombre de Picard, polynômes de classe d'Igusa, rang d'un tenseur, représentations de Steinberg, revêtement non-ramifiés, surfaces, surfaces sur les corps finis, théorème chinois, théorie des codes, Variétés de Schubert

Abstract:
The conference Arithmetics, Geometry, and coding Theory was held in Marseilles, in the International Center of Mathematical Meetings of Luminy (CIRM) from the 26 to 30 of September, 2005. Its topic was the interaction between number theory and algebraic geometry on the one hand, coding theory and cryptography on the other hand. It dealt with such subjects as curves covered by the Hermitian curve, towers of function fields, bilinear complexity of the multiplication in the finite fields, codes on various varieties, estimate of the Picard number of surfaces via p-adic cohomology, minimal distance of codes on a surface, Euler-Kronecker constant on global fields. Public key cryptography was an opportunity for talks on curves and their jacobians: jacobians of C_ab curves, a CRT algorithm to construct genus 2 curves over finite fields, hyperelliptic jacobians and the Steinberg representations. Others talks are devoted to the relations between the enumerator polynomial of codes and modular forms and to a similar construction with construction A of lattices from binary codes to build convolutional codes starting from block codes.

Keywords: Addition of Divisors, algebraic function field, algebraic geometric codes, arithmetic of global fields, bilinear complexity, C_ab curves, Chinese Remainder Theorem, Clifford-Weil group, coding theory., complex multiplication, convolutional codes, curves, curves over finite fields, cyclotomic fields, de Rham cohomology, descent of function fields, endomorphism rings, endomorphisms of abelian varieties, error-correcting codes, finite field, genus 2 curves, geometric codes, Gilbert Varshamov bound, Grassmann codes, Hasse-Weil bound, Hermitian curve, Hilbert modular form, hyperelliptic jacobians, Igusa class polynomials, intersections in Projective Space, invariant space, Jacobi modular form, Jacobian Variety, maximal curve, p-adic cohomology, Picard number, projective bundles, reduction algorithms, Schubert cycles, Schubert varieties, stable vector bundles, Steinberg representations, surfaces, surfaces over finite fields, tensor rank, totally real field, unramified coverings, zeta functions

Class. math. : 11E10, 11F41, 11G**, 11R37, 11R42, 11T71, 14C22, 14F30,14G05,14G15,14G50,14H25, 14H40, 14H45, 14M15,14Q05, 15A63, 15A66, 84B27, 94B10; 05E15, 11H99, 11R47, 11R58, 14F40, 14G** , 14J20, 14K05, 94B05, 94B27, 94B65