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Séminaires et Congrès - Parutions - 3 (1998) 243-273

Parutions < 

Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle. Actes du colloque à la mémoire de Jean Dieudonné (Nice 1996)
Séminaires et Congrès 3 (1998), 283 pages
(épuisé)
Présentation, Sommaire

On the History of Hilbert's Twelfth Problem
Norbert Schappacher
Séminaires et Congrès 3 (1998), 243-273
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Résumé :

Le douzième problème deHilbert propose une façon conjecturale d'engendrer les extensionsabéliennes d'un corps de nombres, en généralisant le théorème dit deKronecker et Weber (toutes les extensions abéliennes de Q sontengendrées par des racines de l'unité) ainsi que les extensions des corpsquadratiques imaginaires (qui sont engendrées par des valeursde fonctions modulaires et elliptiques liées aux courbes elliptiquesà multiplication complexe). La première partie de l'exposé estcentrée autour de la conjecture incorrecte de Hilbert dans le cas ducorps quadratique imaginaire. Elle est dicutée aussi bien du point devue historique (pendant quatorze ans, l'autorité de Hilbert empêcha la découverte de cette erreur), que du point de vue mathématique, enanalysant les interprétations algébro-géometriques des énoncésdifférents relatifs à ce cas et de leurs traditions. On discute ensuitedes analogues en dimension supérieure. Les développements récents(motifs, etc., aussi points de Heegner) sont mentionnés à la fin.

Abstract:
Hilbert's 12th problemconjectures that one might be able to generate all abelian extensionsof a givenalgebraic number field in a way that would generalize the so-calledtheorem of Kronecker and Weber (all abelian extensions of Q can begenerated by roots of unity) and the extensions of imaginary quadraticfields (which may be generated from values of modular and ellipticfunctions related to elliptic curves with complex multiplication). Thefirst part of the lecture is devoted to the false conjecture that Hilbertmade for imaginary quadratic fields. This is discussed both from ahistorical point of view (in that Hilbert's authority prevented this errorfrom being corrected for 14 years) and in mathematical terms, analyzingthe algebro-geometric interpretations of the different statements andtheir respective traditions. After this, higher-dimensional analogues arediscussed. Recent developments in this field (motives, etc., alsoHeegner points) are mentioned at the end.

Class. math. : 01A60, 20-03, 11G15, 11R37


ISBN : 978-2-85629-065-5
ISSN : 1285-2783