Cet article analyse les contributions à l'étude des problèmes aux limites, au cours des années 1860–1890, dans le contexte de l'évolution générale de la théorie qui, partant des modèles physiques où la question trouve ses racines, se constitue en domaine autonome relevant des mathématiques pures. Les travaux de Carl Neumann inspirés par la physique et sa méthode de la moyenne apparaissent comme la phase initiale de cette évolution, celle qui emploie des modèles physiques comme partie intégrante des raisonnements et qui se centre sur les hypothèses géométriques relatives aux régions considérées. Le procédé alterné dû à Hermann Amandus Schwarz, méthode à peu près contemporaine, porte nettement la marque de l'analyse weierstrassienne. Ces deux méthodes constituent pour l'essentiel le fonds où s'inscrira la méthode des approximations successives d'Émile Picard, que celui-ci a développée à la suite de la lecture des travaux des deux auteurs précédents. Les recherches de Picard, analytiquement rigoureuses et éloignées des argumentations physiques, marquent à la fois le passage du domaine des mathématiques appliquées à celui des mathématiques pures et l'avènement de la pleine compréhension et maîtrise des méthodes de Weierstrass en France.