L'Académie royale des sciences frappe d'interdit la quadrature du cercle en 1775. Au travers d'exemples issus de manuscrits de l'époque, nous replaçons dans leurs contextes historiques les arguments présentés par l'Académie pour justifier sa décision : à savoir le mythe d'un prix pour récompenser la découverte de la quadrature du cercle et une conviction, issue de l'expérience, de l'inutilité de critiquer les quadratures. Nous donnons un aperçu de l'importance de la place occupée par les écrits sur la quadrature au xviii^e siècle, véritable phénomène de société auquel dut faire face l'Académie. En étudiant les circonstances de la naissance du prix Rouillé de Meslay, nous fournissons une explication au mythe d'un prix pour la quadrature. Une lecture attentive des rapports académiques sur les quadratures met en lumière deux courants opposés parmi les académiciens : les uns, menés par d'Alembert, prônant l'interdiction, les autres, inspirés par les Lumières, voulant éduquer les quadrateurs. Nous montrons comment, dans ce contexte, l'Académie met en place une stratégie de réponses graduées aux quadrateurs et nous analysons les réactions suscitées par cette stratégie, en particulier la nature des arguments sur lesquels se fondent les contestataires.