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Revue d'Histoire des Mathématiques - Parutions - 10 - pages 45-106

Parutions10

La conception des nombres en France autour de 1800: l'œuvre didactique de Sylvestre François Lacroix
Pierre Lamandé
Revue d'histoire des mathématiques 10, fascicule 1 (2004), 45-106
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Résumé :
L'objet de cet article est d'examiner la vision des nombres telle qu'elle apparaît dans les ouvrages de S.F.Lacroix. Marqué par le génétisme sensualiste de Condillac, ce dernier sut le dépasser et bâtir ses textes, comme le recommandait d'Alembert, autour d'idées simples, issues d'une vision mathématique dégagée des débats métaphysiques. Sans prétendre construire de système philosophique, il bâtit une œuvre d'une profonde cohérence. Partant des nombres entiers et des opérations arithmétiques, il construit les fractions pour étendre la division. L'algèbre, c'est-à-dire la théorie des équations polynomiales, donne naissance à une nouvelle espèce de nombres, les quantités algébriques. Lacroix montre soigneusement que les nombres négatifs et imaginaires sont susceptibles de toutes les opérations arithmétiques et permettent de résoudre toutes les équations polynomiales. Sa géométrie s'ouvre par la description de l'anthyphérèse qui lui permet de définir le rapport comme limite de rationnels et étend encore le champ des nombres. La cohérence des approches est approfondie dans l'application de l'algèbre à la géométrie. Le calcul infinitésimal est fondé sur la notion de limite, sans recours aux infinitésimaux et s'appuyant sur la loi de continuité dont il donne les principes. Il est étendu aux fonctions de plusieurs variables, se dégageant de l'ambiguïté de la notion de quantités qui recouvrait nombres et grandeurs. Les traités de Lacroix sont parmi les tous premiers à être fondés sur une théorie des nombres purement abstraite, certes incomplète, mais qui ouvre la voie aux avancées du XIXe siècle.

Mots clefs : S.F. Lacroix, théorie des nombres, nombres et algèbre, nombres et géométrie, nombres algébriques, enseignement mathématique français à la fin du XVIIIe siècle

Abstract:
The conception of numbers in France circa 1800: the pedagogical works of Sylvestre François Lacroix
This article aims to study the conception of numbers in the books of S.F.Lacroix. Influenced by the genetic sensualism of Condillac, Lacroix went beyond it and constructed his books, as d'Alembert suggested, on simple ideas that stemmed from a vision of mathematics detached from metaphysical debates. Without building a philosophical system, his work was deeply consistent. Beginning with integers and arithmetical operations, he constructed fractions in order to extend division. Algebra, that is the theory of polynomial equations, gave birth to a new kind of number, algebraic quantities. Lacroix carefully showed that negative and imaginary numbers obeyed all the laws of arithmetic and satisfied polynomial equations. His geometry began with a description of anthyphairesis, which allowed him to formulate a conception of ratio as a limit of rational numbers, thereby extending the domain of numbers. The consistency of his approach was increased by the application of algebra to geometry. Calculus was based on the concept of limit, without infinitesimals and supported by a law of continuity the properties of which he provided. It was extended to functions of several variables, without the ambiguity of the concept of ``quantity" which shrouded numbers and magnitudes. Lacroix's textbooks were among the very first to be founded on a purely abstract theory of numbers, one that was incomplete to be sure but one which opened the way to nineteenth-century advances.

Class. math. : 01A50, 11-03, 97-03


ISSN : 1262-022X / 1777-568X