L'analyse de l'article de Poincaré sur les géodésiques fait apparaître qu'il entretient des liens complexes avec les travaux antérieurs de Poincaré en mécanique céleste. Nous montrerons que le problème des géodésiques des surfaces convexes est traité comme un paradigme grâce auquel Poincaré explicite une méthode qui n'était présentée qu'à l'état d'ébauche dans ses ouvrages de mécanique céleste. Cette étude de cas permet ainsi de mettre en évidence l'utilisation par Poincaré d'une technique d'écriture mathématique particulière, et d'en relever plusieurs caractéristiques. Le mode d'exposition pour lequel il opte, qui consiste à présenter une méthode sur un problème particulier plutôt qu'en des termes plus abstraits, ne perd pas de vue la visée générale de la méthode, mais cette généralité s'exprime par des moyens spécifiques.