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Russell et l'Universal Algebra de Whitehead: la géométrie projective entre ordre et incidence (1898-1903)
Sébastien Gandon
Revue d'histoire des mathématiques 10, fascicule 2 (2004), 187-256
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Résumé :
Cet article a pour objectif de réinsérer les analyses que Russell consacre à la géométrie dans le contexte des discussions sur les fondements de la géométrie à la fin du XIXe siècle. Plus précisément, il vise d'abord à retracer l'influence du premier ouvrage de Whitehead (A Treatise on Universal Algebra, 1898) sur les conceptions russelliennes de la géométrie ; il vise ensuite à établir que le concept géométrique fondamental n'est pas pour Russell le concept d'ordre, mais celui d'incidence. Les deux thèses sont intimement liées. C'est en effet la présentation ambiguë que Whitehead propose de la géométrie projective qui contraint Russell, autour de 1898-1899, à définir plus précisément ce qu'il entend par « méthode purement projective » , et à développer un système axiomatique qui n'admet comme unique relation primitive que la relation d'incidence. S'appuyant sur l'œuvre de Pieri, Russell continue en 1903 dans les Principles à définir la géométrie, non comme une théorie générale de l'ordre, mais comme une théorie générale des relations d'incidence. Les relations d'incidence jouent ainsi un rôle fondamental et méconnu dans la pensée russellienne.
Mots clefs : Histoire de la géométrie, ordre, incidence, Russell, Whitehead, Grassmann
Abstract:
Russell and Whitehead's Universal Algebra: projective geometry between order and incidence (1898-1903)
The purpose of this paper is to fit Russell's analyses of geometry into the context of the debate about the foundations of geometry at the end of the XIXth century. More precisely, this article aims, first, to describe the influence of Whitehead's first book (A Treatise on Universal Algebra, 1898) on Russell's account of geometry and, secondly, to show that, for Russell, the primitive geometrical notion was not order, but incidence. The two theses are not unrelated. The ambiguity of Whitehead's presentation of projective geometry compelled Russell to redefine, around 1898-1899, the nature of the « real projective method » and to build an axiomatic system in which the only primitive relation is incidence. Drawing from then recent work of Pieri, Russell still defined geometry in Part VI of the Principles (1903) not as a general theory of order but as a general theory of incidence relations. Thus, incidence relations played an important, if unrecognised, part in Russell's thought.
Class. math. : 01A55, 01A60, 51-03
ISSN :
1262-022X / 1777-568X
